Tên luận án:
TÍNH CỰC ĐẠI, TÍNH CỰC ĐẠI ĐỊA PHƯƠNG VÀ VẤN ĐỀ XẤP XỈ CỦA CÁC HÀM F-ĐA ĐIỀU HOÀ DƯỚI
Ngành:
Toán giải tích
Tóm tắt nội dung tài liệu:
Luận án này tập trung nghiên cứu một lớp đặc biệt của các hàm đa điều hòa dưới, được định danh là hàm F-đa điều hòa dưới (plurifine plurisubharmonic functions). Lịch sử của vấn đề này bắt nguồn từ những công trình của H. Cartan vào đầu những năm 1940, khi ông đưa ra tôpô "fine" để khắc phục tính không liên tục của các hàm điều hòa dưới trên C. Sau đó, khái niệm tôpô plurifine và hàm F-đa điều hòa dưới đã được Wiegerinck và các cộng sự phát triển, hình thành Lí thuyết F-đa thế vị. Một vấn đề tự nhiên trong lĩnh vực này là nghiên cứu các vấn đề tương tự của Lí thuyết đa thế vị thông thường cho lớp hàm F-đa điều hòa dưới, đặc biệt là tính cực đại và vấn đề xấp xỉ.
Mục đích chính của luận án là khảo sát các tính chất của hàm F-đa điều hòa dưới, làm rõ mối quan hệ giữa tính chất cực đại địa phương và toàn cục, đồng thời thiết lập các điều kiện xấp xỉ của chúng bởi dãy tăng các hàm đa điều hòa dưới thông thường.
Các đóng góp khoa học chính của luận án bao gồm:
- Chỉ ra sự tương đương giữa tính chất F-cực đại toàn cục và F-cực đại F-địa phương cho các hàm F-đa điều hòa dưới liên tục trên các tập F-mở của C^n (Định lí 2.1.2).
- Mở rộng kết quả trên cho các hàm F-đa điều hòa dưới bị chặn trên các tập F-mở của C^n (Định lí 2.2.2), khẳng định giá trị khoa học của kết quả này khi nó đúng cho một lớp hàm rộng hơn.
- Đưa ra khái niệm miền F-siêu lồi và định nghĩa lớp hàm Fp(Ω), từ đó chứng minh tính chất xấp xỉ được của hàm F-đa điều hòa dưới bởi dãy tăng các hàm đa điều hòa dưới âm trên dãy giảm các miền siêu lồi rộng hơn (Định lí 3.3.1).
Những kết quả này là mới, có tính thời sự và góp phần quan trọng vào việc nghiên cứu tính chất của hàm F-đa điều hòa dưới, làm phong phú thêm các công cụ và kỹ thuật trong Giải tích phức và Lí thuyết đa thế vị. Luận án cũng đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo liên quan đến toán tử Monge-Ampère phức và tính chất của hàm F-đa điều hòa dưới yếu.
Mục lục chi tiết:
- Mở đầu
- Tổng quan về các vấn đề trong Luận án
- Chương 1. Hàm F-đa điều hòa dưới, F-đa điều hòa dưới cực đại và toán tử Monge-Ampère phức
- Trình bày một số kiến thức cần thiết về F-tôpô, định nghĩa và một số tính chất của hàm F-đa điều hòa dưới, toán tử Monge-Ampère phức và hàm F-đa điều hòa dưới cực đại, cùng như một số kết quả sẽ sử dụng trong các chương sau.
- Chương 2. Tính chất địa phương của hàm F-đa điều hòa dưới cực đại
- Đưa ra những điều kiện liên tục hoặc bị chặn để đảm bảo điều kiện cần và đủ để một hàm F-đa điều hòa dưới là F-cực đại F-địa phương là F-cực đại toàn thể trên tập F-mở Ω trong C^n. Các kết quả chính thu được là Định lí 2.1.2 và Định lí 2.2.2.
- Chương 3. Xấp xỉ hàm F-đa điều hoà dưới
- Chỉ ra khi nào thì hàm F-đa điều hòa dưới âm u trong F-miền Ω, có thể được xấp xỉ bởi một dãy tăng của các hàm đa điều hòa dưới được xác định trên các lân cận Euclidean của Ω. Kết quả chính của chương là Định lí 3.3.1.
- Kết luận
- Danh mục công trình trong Luận án
- Tài liệu tham khảo