Luận án Các bất đẳng thức Lojasiewicz: Sự tồn tại và tính toán các số mũ

Tên luận án:

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LOJASIEWICZ: SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH TOÁN CÁC SỐ MŨ

Ngành:

Hình học và tô pô

Tóm tắt nội dung tài liệu:

Luận án này tập trung nghiên cứu sâu rộng về các bất đẳng thức Łojasiewicz, bao gồm bất đẳng thức Łojasiewicz gradient và bất đẳng thức Łojasiewicz cổ điển, là những công cụ cơ bản trong giải tích và hình học đại số, ra đời nhằm giải quyết giả thuyết chia phân bố của L. Schwartz và có nhiều ứng dụng quan trọng. Nghiên cứu này khảo sát sự tồn tại, tính toán các số mũ, và tính ổn định của các bất đẳng thức này trong nhiều bối cảnh khác nhau.

Luận án đạt được ba kết quả chính. Thứ nhất, luận án chứng minh rằng các thương cực và số mũ Łojasiewicz gradient là những bất biến tô pô của các kỳ dị đường cong phẳng trong trường hợp phức, kể cả khi chúng không thu gọn. Để đạt được điều này, tác giả đã phát triển phương pháp tính toán tập các thương cực dựa trên khai triển Newton-Puiseux và sử dụng kết quả của Parusiński, đồng thời chứng tỏ số mũ Łojasiewicz gradient có thể được suy ra từ các thương cực. Đối với trường hợp thực, luận án cung cấp phương pháp tính toán cụ thể số mũ Łojasiewicz gradient bằng cách sử dụng đa giác Newton và phương pháp trượt. Các kết quả này cũng dẫn đến các ước lượng hiệu quả cho số mũ Łojasiewicz của hàm đa thức hai biến, cải thiện các ước lượng trước đó.

Thứ hai, luận án đi sâu vào việc khảo sát sự tồn tại và phân loại các kiểu ổn định của cận sai số Hölder toàn cục, cũng như mối liên hệ của chúng với các bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục và các giá trị Fedoryuk đặc biệt. Cụ thể, luận án mô tả tường minh công thức của tập A+(f), bao gồm các giá trị t mà tại đó tập dưới mức [f ≤ t] có cận sai số Hölder toàn cục. Các giá trị này được xác định thông qua các giá trị đặc biệt của tập Fedoryuk K∞(f). Luận án cũng đưa ra phân loại đầy đủ các kiểu ổn định của cận sai số Hölder khi t thay đổi và giải quyết bài toán tính toán tập A+(f) cho đa thức hai biến thực bằng cách sử dụng khai triển Newton-Puiseux tại vô hạn. Các ví dụ cụ thể cũng được trình bày để minh họa các trường hợp đặc biệt, như đa thức có tập Fedoryuk vô hạn hoặc không tồn tại thớ nào thỏa mãn bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục.

Thứ ba, luận án mở rộng các kết quả về cận sai số Hölder toàn cục từ lớp hàm đa thức sang lớp hàm định nghĩa được trong các cấu trúc o-tối tiểu liên tục. Luận án đặc trưng sự tồn tại của cận sai số Hölder toàn cục cho các hàm này và thiết lập mối liên hệ với điều kiện Palais-Smale. Đồng thời, một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của bất đẳng thức Łojasiewicz gradient cạnh thớ cho hàm định nghĩa được cũng được đưa ra. Các kết quả này góp phần làm sâu sắc thêm hiểu biết về tính chất của các bất đẳng thức Łojasiewicz trong nhiều ngữ cảnh, từ hình học đại số đến tối ưu hóa.