Tên luận án:
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG
Ngành:
Toán Giải tích
Tóm tắt nội dung tài liệu:
Luận án "MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG" tập trung nghiên cứu và đề xuất các phương pháp giải quyết Bài toán Bất đẳng thức Biến phân trên Tập điểm Bất động (VIF(Ω, F)). Đây là một mô hình toán học quan trọng, lần đầu tiên được đề cập vào năm 1966, có nhiều ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực như kinh tế, cân bằng mạng giao thông, lý thuyết trò chơi và xử lý ảnh. Bài toán VIF(Ω, F) được phát biểu là tìm x* ∈ Ω sao cho (F(x*), x − x*) ≥ 0, trong đó Ω là giao của các tập điểm bất động của các ánh xạ.
Các nghiên cứu trước đây về bài toán này thường gặp phải một số hạn chế. Cụ thể, các thuật toán hiện hành đòi hỏi các giả thiết chặt chẽ về ánh xạ giá F (ví dụ: đơn điệu mạnh, liên tục Lipschitz hoặc các giả thiết đơn điệu chính quy phức tạp). Về mặt tính toán, các thuật toán lặp thường kém hiệu quả trên máy tính khi miền ràng buộc phức tạp, do mỗi bước lặp yêu cầu tính nghiệm của một bài toán bất đẳng thức biến phân phụ với độ chính xác cao, điều khó đạt được trong thực tế. Hơn nữa, khả năng ứng dụng các thuật toán này vào các mô hình thực tế còn nhiều hạn chế.
Nhằm khắc phục những thách thức trên, luận án này đề xuất các thuật toán mới thông qua việc mở rộng các phương pháp trong tối ưu và kỹ thuật lặp điểm bất động, bao gồm kỹ thuật lai ghép, quán tính, lặp và chiếu nới lỏng. Các đóng góp chính của luận án bao gồm:
- Phát triển Thuật toán lai ghép co quán tính (HICA), kết hợp kỹ thuật lặp của Yamada với kỹ thuật quán tính, nhằm giải VIF(Ω, F) với miền ràng buộc Ω là tập điểm bất động của vô hạn các ánh xạ nửa co. Thuật toán này có ưu điểm là chỉ sử dụng phương pháp tính toán xấp xỉ và không cần phép chiếu, góp phần tăng tốc độ giải số.
- Xây dựng Thuật toán xấp xỉ song song quán tính (PIPA), kết hợp kỹ thuật quán tính và tính toán song song, để giải VIF(Ω, F) với ánh xạ giá F đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz, và Ω là tập điểm bất động của m ánh xạ nửa co. Thuật toán này đã được áp dụng thành công vào mô hình phục hồi ảnh, cho thấy hiệu quả vượt trội.
- Đề xuất Thuật toán chiếu nới lỏng (RLPA), dựa trên sự kết hợp phép chiếu trực tiếp lên miền ràng buộc C và phép chiếu nới lỏng trên một nửa không gian, để giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp.
- Thiết kế Thuật toán chiếu co (PCA), sử dụng phép chiếu trực tiếp lên tập C và một bài toán phụ dựa trên kỹ thuật phân tích DC, nhằm giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ nghiệm BVI(C, F, G).
Luận án đã chứng minh sự hội tụ mạnh và yếu của các thuật toán đề xuất, đồng thời minh họa tính hiệu quả thông qua các ví dụ tính toán và so sánh với các thuật toán khác bằng phần mềm Matlab. Các kết quả nghiên cứu đã được công bố trên bốn bài báo khoa học, bao gồm ba bài trên tạp chí SCIE xếp hạng Q2 và một bài trên Scopus xếp hạng Q3. Hướng nghiên cứu tiếp theo bao gồm cải thiện tốc độ và thời gian tính toán, đánh giá sai số và tốc độ hội tụ, giảm nhẹ điều kiện của ánh xạ giá, và mở rộng bài toán sang các cấp độ phức tạp hơn.
Mục lục chi tiết:
- Mở đầu 1
- 1 Bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động 5
- 1.1 Một số kiến thức cơ bản 6
- 1.1.1 Phép chiếu và ánh xạ đơn điệu 6
- 1.1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 6
- 1.1.3 Bài toán điểm bất động 6
- 1.1.4 Một số bổ đề cơ bản 6
- 1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động 6
- 1.2.1 Phát biểu bài toán và ví dụ 6
- 1.2.2 Một số trường hợp đặc biệt 6
- 1.2.3 Mô hình xử lý ảnh 6
- 1.2.4 Một vài thuật toán thông dụng giải bài toán VIF(Ω, F) 6
- 2 Các kỹ thuật quán tính 7
- 2.1 Kỹ thuật lai ghép co quán tính 7
- 2.1.1 Thuật toán (HICA) 7
- 2.1.2 Định lý hội tụ 8
- 2.1.3 Các ví dụ tính toán 9
- 2.2 Kỹ thuật xấp xỉ song song quán tính 9
- 2.2.1 Thuật toán (PIPA) 9
- 2.2.2 Định lý hội tụ 9
- 2.2.3 Áp dụng vào mô hình phục hồi ảnh 10
- 3 Phương pháp ánh xạ nghiệm nới lỏng 11
- 3.1 Phương pháp chiếu nới lỏng 12
- 3.1.1 Thuật toán (RLPA) 12
- 3.1.2 Ánh xạ nghiệm 13
- 3.1.3 Định lý hội tụ 14
- 3.1.4 Tính toán minh hoạ 15
- 3.2 Phương pháp chiếu co 15
- 3.2.1 Thuật toán (PCA) 15
- 3.2.2 Định lý hội tụ 16
- 3.2.3 Sai số tính toán 16
- 3.2.4 Các ví dụ tính toán 18
- Kết luận 19
- Hướng nghiên cứu tiếp theo 20
- Danh mục công trình khoa học đã công bố 21