MỘT SỐ LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI MẢNG NHIỀU CHIỀU VÀ MẢNG TAM GIÁC CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ĐA TRỊ
Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học
Luận án này tập trung nghiên cứu và thiết lập các luật số lớn mạnh đối với mảng nhiều chiều và mảng tam giác của các biến ngẫu nhiên đa trị. Đề tài được lựa chọn dựa trên tầm quan trọng của các định lý giới hạn trong lý thuyết xác suất, thống kê toán học và ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như y học, toán kinh tế. Đặc biệt, việc mở rộng các kết quả từ biến ngẫu nhiên đơn trị sang đa trị là một hướng nghiên cứu có nhiều ý nghĩa do những bất thường trong cấu trúc của không gian các tập con khác rỗng của không gian Banach, cũng như những khó khăn khi xét mảng nhiều chỉ số.
Mục đích chính của luận án là thiết lập một số luật mạnh số lớn cho mảng hai chiều và mảng tam giác của các biến ngẫu nhiên đa trị dưới các giả thiết khác nhau. Đối tượng nghiên cứu bao gồm các biến ngẫu nhiên đa trị, hàm ngẫu nhiên nửa liên tục trên, cùng các tính chất phụ thuộc như độc lập đôi một, compact khả tích đều, phụ thuộc âm và liên kết âm. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào luật số lớn ứng với dạng hội tụ theo tôpô gap cho mảng hai chiều và mảng tam giác, đồng thời thiết lập luật số lớn cho mảng d-chiều các hàm ngẫu nhiên nửa liên tục trên phụ thuộc. Các phương pháp nghiên cứu lý thuyết xác suất, giải tích lồi và giải tích hàm, bao gồm kỹ thuật lồi hóa và phân tích theo khối, đã được sử dụng.
Các kết quả chính mà luận án đạt được bao gồm việc thiết lập luật mạnh số lớn cho mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên đa trị trong các trường hợp độc lập đôi một và compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro, độc lập đôi một cùng phân phối, hoặc độc lập và nhận giá trị trên không gian các tập con đóng của không gian Rademacher dạng p. Luận án cũng thiết lập luật mạnh số lớn cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị độc lập theo hàng, xét các trường hợp compact khả tích đều, bị chặn đều và nhận giá trị trên không gian các tập con đóng của không gian Banach khả ly, hoặc có kì vọng bị chặn và nhận giá trị trên không gian Rademacher dạng p. Ngoài ra, luận án còn chứng minh bất đẳng thức cho mảng d-chiều các biến ngẫu nhiên thực liên kết âm, thiết lập luật số lớn cho chúng, và giới thiệu bất đẳng thức cực đại dạng Hajék-Rényi cùng các luật số lớn cho mảng d-chiều các hàm ngẫu nhiên nửa liên tục trên liên kết âm và phụ thuộc âm đôi một. Luận án góp phần bổ sung và mở rộng hướng nghiên cứu các định lý giới hạn của biến ngẫu nhiên đa trị, đồng thời là tài liệu tham khảo có giá trị.