Luận án Tính ổn định và ổn định hóa của một số lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ và ứng dụng

Tên luận án:

TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG

Ngành:

Phương trình vi phân và tích phân

Tóm tắt nội dung tài liệu:

Luận án này tập trung nghiên cứu sâu về tính ổn định và ổn định hóa của các hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ, đặc biệt trong các mô hình mạng nơron. Lý thuyết ổn định là một lĩnh vực quan trọng trong lý thuyết định tính các phương trình vi phân, có nhiều ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực như cơ học, vật lý, hóa học, sinh thái học và trí tuệ nhân tạo. Các mô hình thực tiễn thường được mô tả bởi phương trình vi phân có trễ, trong đó các độ trễ có thể làm thay đổi đáng kể dáng điệu nghiệm và ảnh hưởng đến tính ổn định của hệ. Việc nghiên cứu các hệ có trễ gặp nhiều khó khăn do cấu trúc vô hạn chiều của không gian pha.

Đề tài luận án được lựa chọn dựa trên tầm quan trọng của lý thuyết ổn định và nhu cầu giải quyết các vấn đề thực tiễn liên quan đến các mô hình mạng nơron, bao gồm mạng nơron Hopfield, mạng nơron quán tính (INNs) và mạng bộ nhớ hai chiều kết hợp (BAM). Các mô hình này được mô tả bằng các hệ phương trình vi phân phi tuyến, thường chứa các yếu tố trễ và xung, làm tăng thêm sự phức tạp trong phân tích.

Luận án đã đạt được các kết quả chính sau: Thứ nhất, thiết lập các điều kiện đủ để đảm bảo tính ổn định mũ toàn cục cho mô hình mạng nơron Hopfield không ô-tô-nôm với trễ biến thiên không đồng nhất dưới tác động của xung bất ổn định. Thứ hai, đưa ra một đánh giá mũ suy rộng cho mạng nơron Hopfield chứa trễ tỉ lệ dưới tác động đồng thời của xung ổn định và xung bất ổn định phân phối kiểu tuần hoàn. Thứ ba, chứng minh tính dương và điều kiện tồn tại điểm cân bằng dương ổn định mũ cho mạng nơron quán tính đa trễ biến thiên. Cuối cùng, thiết lập các điều kiện tồn tại điểm cân bằng dương ổn định mũ cho một lớp hệ dương phi tuyến trong mô hình mạng BAM với trễ biến thiên không đồng nhất. Các kết quả này được phát triển dựa trên việc kết hợp các công cụ giải tích, giải tích ma trận, nguyên lý so sánh bằng bất đẳng thức vi phân và lý thuyết M-ma trận.

Cấu trúc luận án bao gồm bốn chương chính: Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị về lịch sử và mô hình toán học của mạng nơron, lý thuyết ổn định và các kết quả bổ trợ. Chương 2 tập trung vào tính ổn định và ổn định hóa của mạng nơron Hopfield có trễ dưới tác động của xung biến thiên. Chương 3 nghiên cứu nghiệm dương và tính ổn định của điểm cân bằng dương đối với mô hình mạng nơron quán tính đa trễ biến thiên. Chương 4 nghiên cứu tính ổn định của lớp hệ dương phi tuyến trong mô hình mạng BAM đa trễ biến thiên. Các kết quả nghiên cứu trong luận án đã được công bố trên 04 bài báo trên các tạp chí quốc tế thuộc danh mục ISI/Scopus.

Mục lục chi tiết:

• Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

  • 1.1. Mô hình động lực học của mạng nơron sinh học tổng quát
  • 1.2. Cở sở toán học
  • 1.2.1. Hệ phương trình vi phân có trễ và tính ổn định Lyapunov
  • 1.2.2. Hệ phương trình vi phân hàm chứa xung
  • 1.2.3. Hệ dương
  • 1.2.4. Một số kết quả bổ trợ

• Chương 2 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN MÔ TẢ MẠNG NƠRON HOPFIELD CÓ TRỄ VỚI XUNG BIẾN THIÊN

  • 2.1. Ví dụ mở đầu
  • 2.2. Mô hình mạng nơron Hopfield không ô-tô-nôm chứa trễ và xung bất ổn định
  • 2.3. Điều kiện ổn định
  • 2.3.1. Kết quả chính
  • 2.3.2. Một số kết quả áp dụng
  • 2.4. Ổn định hóa dạng mũ mạng nơron Hopfield chứa trễ tỉ lệ với hiệu ứng xung phân phối kiểu tuần hoàn
  • 2.4.1. Tính ổn định mũ suy rộng của hệ đóng (2.10)
  • 2.4.2. Điều kiện ổn định hóa đối với hệ (2.7)

• Chương 3 NGHIỆM DƯƠNG VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA ĐIỂM CÂN BẰNG ĐỐI VỚI MÔ HÌNH MẠNG NƠRON QUÁN TÍNH ĐA TRỄ BIẾN THIÊN

  • 3.1. Thiết lập sơ bộ
  • 3.1.1. Sự tồn tại nghiệm
  • 3.1.2. Nghiệm dương và điểm cân bằng
  • 3.1.3. Sự tồn tại của điểm cân bằng
  • 3.2. Tính dương của mạng nơron quán tính có trễ
  • 3.3. Sự tồn tại của điểm cân bằng
  • 3.4. Tính ổn định mũ của điểm cân bằng dương
  • 3.5. Ví dụ minh họa

• Chương 4 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA LỚP HỆ DƯƠNG PHI TUYẾN TRONG MÔ HÌNH MẠNG BAM ĐA TRỄ BIẾN THIÊN

  • 4.1. Mô tả mô hình và phân tích sơ bộ
  • 4.1.1. Sự tồn tại duy nhất nghiệm
  • 4.1.2. Nghiệm dương và điểm cân bằng
  • 4.2. Nghiệm dương của mô hình mạng BAM với trễ biến thiên
  • 4.3. Sự tồn tại của điểm cân bằng
  • 4.4. Tính ổn định mũ của điểm cân bằng
  • 4.5. Mạng nơron BAM dương với đa trễ tỉ lệ
  • 4.6. Ví dụ minh họa