Luận án Các phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich và điểm gần kề cho phương trình toán tử không chỉnh phi tuyến đơn điệu

Tên luận án:

CÁC PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LẶP NEWTON-KANTOROVICH VÀ ĐIỂM GẦN KỀ CHO PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ KHÔNG CHỈNH PHI TUYẾN ĐƠN ĐIỆU

Ngành:

Toán ứng dụng (Mã số: 9 46 01 12)

Tóm tắt nội dung tài liệu:

Luận án tập trung giải quyết các phương trình toán tử đặt không chỉnh dạng A(x) = f, vốn phổ biến trong nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kinh tế và sinh thái. Những bài toán này thường có nghiệm không ổn định theo dữ kiện ban đầu. Các phương pháp hiệu chỉnh truyền thống như Tikhonov hay Browder-Tikhonov thường gặp hạn chế khi A là ánh xạ phi tuyến, dẫn đến các bài toán con cũng phi tuyến hoặc đòi hỏi các điều kiện chặt chẽ về không gian Banach và ánh xạ đối ngẫu.

Nghiên cứu này trình bày và chứng minh các định lí về sự hội tụ mạnh cho các phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich mới. Các phương pháp này được áp dụng để tìm nghiệm của phương trình phi tuyến với toán tử loại đơn điệu (đơn điệu và J-đơn điệu) trong không gian Banach. Một điểm nổi bật là các kết quả đạt được đã khắc phục được những hạn chế của các phương pháp trước đây, bao gồm việc loại bỏ sự phụ thuộc vào đạo hàm Fréchet tại nghiệm chưa biết và giảm bớt các giả thiết chặt chẽ về tính chất của không gian Banach, cũng như tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc.

Bên cạnh đó, luận án còn giới thiệu và chứng minh sự hội tụ mạnh của hai cải biên mới của phương pháp điểm gần kề nhằm tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert. Điểm khác biệt quan trọng của các cải biên này so với các nghiên cứu trước đây là sự hội tụ mạnh được chứng minh dưới giả thiết dãy tham số của toán tử giải là khả tổng, trong khi các kết quả trước đó thường yêu cầu dãy tham số không khả tổng. Các ví dụ số minh họa được đưa ra để chứng minh hiệu quả của các phương pháp đề xuất.

Mục lục chi tiết:

• Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

  • 1.1. Không gian Banach và các vấn đề liên quan

    • 1.1.1. Một số tính chất trong không gian Banach
    • 1.1.2. Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh

  • 1.2. Phương pháp Newton-Kantorovich

  • 1.3. Phương pháp điểm gần kề và một số cải biên

    • 1.3.1. Phương pháp điểm gần kề
    • 1.3.2. Một số cải biên của phương pháp điểm gần kề

• Chương 2: Phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi tuyến với toán tử loại đơn điệu

  • 2.1. Hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi tuyến với toán tử đơn điệu trong không gian Banach

  • 2.2. Hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi tuyến với toán tử J-đơn điệu trong không gian Banach

  • 2.3. Ví dụ số về xấp xỉ hữu hạn chiều cho phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich

• Chương 3: Phương pháp lặp để tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert

  • 3.1. Bài toán tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại

  • 3.2. Các cải biên của phương pháp điểm gần kề với dãy tham số của toán tử giải khả tổng

  • 3.3. Ví dụ số minh họa