Tên luận án:
NGHIỆM LIOUVILLE CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CẤP MỘT
Ngành:
ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Tóm tắt nội dung tài liệu:
Luận án này tập trung nghiên cứu nghiệm Liouville của phương trình vi phân đại số cấp một (AODEs), một lớp phương trình vi phân phi tuyến quan trọng. Phương trình vi phân đại số cấp một được định nghĩa là có dạng F(y, y') = 0, trong đó F là một đa thức bất khả quy hai biến với hệ số thuộc vào trường K(x). Nghiệm Liouville bao gồm các nghiệm hữu tỷ (đại số) và siêu việt, thuộc một mở rộng Liouville của trường K(x).
Công trình này kế thừa và mở rộng các ý tưởng từ các nghiên cứu trước đây của Liouville, Risch, Singer, Feng và Gao, Srinivasan, cùng Võ và cộng sự, nhằm giải quyết vấn đề tìm kiếm nghiệm Liouville tổng quát của AODEs cấp một.
Các đóng góp chính của luận án bao gồm:
- Định nghĩa nghiệm Liouville hữu tỷ và phát triển Thuật toán RatLiouSol để xác định nghiệm Liouville hữu tỷ của phương trình vi phân đại số cấp một tự trị (autonom).
- Chứng minh rằng nghiệm Liouville (kể cả nghiệm đại số) của AODEs cấp một tự trị có giống bằng không chính là nghiệm Liouville hữu tỷ. Từ đó, đề xuất Thuật toán LiouSolAut để tìm và phân loại nghiệm Liouville thành nghiệm đại số và siêu việt.
- Trình bày Thuật toán LiouSol để tìm nghiệm Liouville của AODEs cấp một có giống bằng không, áp dụng cho cả trường hợp tự trị và không tự trị.
- Giới thiệu phép biến đổi lũy thừa và xây dựng Thuật toán RedPol để tìm dạng rút gọn của AODEs cấp một. Qua đó, luận án đưa ra một phương pháp tìm nghiệm Liouville cho các phương trình có giống dương nhưng dạng rút gọn của chúng có giống bằng không.
- Chuyển đổi vấn đề tìm nghiệm của AODEs cấp một với hệ số thuộc mở rộng Liouville về việc giải một phương trình vi phân đại số dạng chuẩn bằng phép đổi biến.
Luận án này cung cấp một cái nhìn toàn diện về các phương pháp và thuật toán mới để xác định và phân loại nghiệm Liouville của AODEs cấp một, góp phần vào lý thuyết phương trình vi phân đại số phi tuyến.
Mục lục chi tiết:
- Mở đầu
- 1 Kiến thức cơ sở
- 1.1 Đại số vi phân
- 1.2 Đường cong đại số
- 1.3 Trường hàm đại số một biến
- 1.4 Hàm hữu tỷ trên đường cong đại số
- 1.5 Chuẩn bị
- 1.5.1 Trường hàm đại số liên kết
- 1.5.2 Phép tham số hữu tỷ
- 2 Nghiệm liouville hữu tỷ của phương trình vi phân đại số cấp một autonom
- 2.1 Giải phương trình vi phân đại số cấp một bằng phép tham số
- 2.2 Nghiệm liouville hữu tỷ
- 2.3 Kết quả chính
- 2.4 Thuật toán và các ví dụ
- 3 Nghiệm liouville của phương trình vi phân đại số cấp một autonom giống không
- 3.1 Kết thức Sylvester
- 3.2 Kết quả chính
- 3.3 Thuật toán và áp dụng
- 4 Nghiệm liouville của phương trình vi phân đại số cấp một
- 4.1 Nghiệm liouville của phương trình vi phân đại số cấp một giống không
- 4.1.1 Phương trình vi phân liên kết
- 4.1.2 Kết quả chính và thuật toán
- 4.1.3 Khảo sát phương trình (4.7) và ví dụ
- 4.2 Phép biến đổi luỹ thừa và áp dụng
- 4.2.1 Phép biến đổi luỹ thừa
- 4.2.2 Dạng rút gọn bởi phép biến đổi luỹ thừa
- 4.2.3 Áp dụng
- 4.3 Phép biến đổi Möbius
- 4.4 Phương trình vi phân đại số cấp một với hệ số liouville