Luận án Một số vấn đề trong giải tích biến phân bậc hai và ứng dụng

Tên luận án:

MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG GIẢI TÍCH BIẾN PHÂN BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG

Ngành:

Toán Giải tích

Tóm tắt nội dung tài liệu:

Luận án tập trung nghiên cứu các cấu trúc vi phân suy rộng bậc hai và ứng dụng của chúng trong lý thuyết tối ưu. Giải tích biến phân, một lĩnh vực toán học quan trọng, nghiên cứu các bài toán tối ưu, cân bằng và điều khiển, với phép tính vi phân suy rộng là trung tâm. Giải tích biến phân bậc hai là một bộ phận chuyên sâu, khảo sát các cấu trúc vi phân suy rộng bậc hai và các vấn đề liên quan, thường xuất hiện trong các hệ biến phân được mô tả qua dưới vi phân hoặc nón pháp tuyến, cũng như trong các bài toán tối ưu không trơn và có ràng buộc.

Mục tiêu chính của luận án là phát triển các công cụ của giải tích biến phân bậc hai để thiết lập các điều kiện tối ưu. Các vấn đề nghiên cứu cụ thể bao gồm: khảo sát mối quan hệ giữa điều kiện tăng trưởng bậc hai và tính xác định dương của đạo hàm đồ thị dưới gradient; xác định các lớp hàm mà điều kiện tăng trưởng bậc hai kéo theo tính dưới chính quy mêtric mạnh của dưới vi phân; và nghiên cứu các điều kiện tối ưu bậc hai cho bài toán quy hoạch nón thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric.

Các kết quả chính của luận án bao gồm: thiết lập các tính chất của hàm khả vi hai lần theo nghĩa mở rộng và các quy tắc tính toán cho đạo hàm đồ thị dưới gradient, dưới đạo hàm bậc hai và dưới đạo hàm parabol; xây dựng điều kiện đủ của cực tiểu địa phương mạnh cho hàm chính thường nửa liên tục dưới thông qua đạo hàm đồ thị dưới gradient; đặc trưng hóa điều kiện tăng trưởng bậc hai thông qua đạo hàm đồ thị dưới gradient và tính dưới chính quy mêtric mạnh cho các lớp hàm lồi biến phân, cũng như các hàm biểu diễn dưới dạng tổng của hàm khả vi hai lần theo nghĩa mở rộng và hàm liên tục dưới vi phân, chính quy gần kề và khả vi trên đồ thị hai lần; và thiết lập các điều kiện cần và đặc trưng điều kiện tăng trưởng bậc hai cho một lớp bài toán quy hoạch nón thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric.

Luận án cũng đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo, bao gồm việc đánh giá môđun chính xác của điều kiện tăng trưởng bậc hai cho hàm lồi biến phân và nghiên cứu sâu hơn về sự tương đương của điều kiện tăng trưởng bậc hai và tính chất dưới chính quy mêtric mạnh cho các lớp hàm có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của hàm khả vi liên tục hai lần và hàm lồi.

Mục lục chi tiết:

• MỞ ĐẦU
• CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ PHÉP TÍNH VI PHÂN SUY RỘNG TRONG GIẢI TÍCH BIẾN PHÂN
  • 1.1 Các khái niệm và tính chất bổ trợ
  • 1.2 Hàm khả vi hai lần theo nghĩa mở rộng
• CHƯƠNG 2: ĐIỀU KIỆN TĂNG TRƯỞNG BẬC HAI VÀ TÍNH DƯỚI CHÍNH QUY MÊTRIC MẠNH CỦA DƯỚI VỊ PHÂN
  • 2.1 Điều kiện tối ưu cho hàm chính thường nửa liên tục dưới dựa vào đạo hàm đồ thị dưới gradient
  • 2.2 Quan hệ tương đương giữa điều kiện tăng trưởng bậc hai và tính dưới chính quy mêtric mạnh của dưới vi phân
• CHƯƠNG 3: ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU BẬC HAI CHO MỘT LỚP BÀI TOÁN QUY HOẠCH NÓN
  • 3.1 Điều kiện cần tối ưu bậc hai
  • 3.2 Đặc trưng cực tiểu địa phương mạnh
• KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ
  • 1. Kết luận chung
  • 2. Kiến nghị về những hướng nghiên cứu tiếp theo