Luận án Một số vấn đề về đồng cấu Lannes-Zarati modulo p.

Tên luận án:

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐỒNG CẤU LANNES-ZARATI MODULO p

Ngành:

ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ

Tóm tắt nội dung tài liệu:

Luận án này tập trung nghiên cứu dáng điệu của đồng cấu Lannes-Zarati modulo p, đặc biệt trong trường hợp p là số nguyên tố lẻ. Đồng cấu Lannes-Zarati là một công cụ quan trọng trong tôpô đại số, được sử dụng để giải quyết bài toán phân loại kiểu đồng luân, đặc biệt là xác định nhóm đồng luân ổn định của mặt cầu thông qua dãy phổ Adams. Trong khi đồng cấu Lannes-Zarati modulo 2 đã được nhiều tác giả nghiên cứu kỹ lưỡng, trường hợp p lẻ còn ít được quan tâm.

Các đóng góp chính của luận án bao gồm:

• Xây dựng biểu diễn ở mức độ dây chuyền của đối ngẫu của môđun M, ký hiệu (M)#, trên phức dây chuyền Singer-Hưng-Sum, cũng như biểu diễn dây chuyền của đồng cấu Lannes-Zarati M trong đại số Lambda và trên phức A ⊗ M# cho một A-môđun M bất kỳ. Các biểu diễn này là nền tảng để xác định nhân và ảnh của đồng cấu Lannes-Zarati với các giá trị s nhỏ cho trường hợp p lẻ.
• Phát triển toán tử lũy thừa Pº, tác động lên Exts,s+t(Fp, Fp). Luận án chứng minh sự tồn tại của toán tử Pº tác động trên Exts,s+t(M, Fp) và trên (Fp A R5M)# khi M = Fp và M = H*(BZ/p). Toán tử này được chứng minh là giao hoán với đồng cấu Lannes-Zarati M, trở thành một công cụ hiệu quả giúp giảm đáng kể khối lượng tính toán trong nghiên cứu dáng điệu của đồng cấu Lannes-Zarati modulo p.
• Khảo sát dáng điệu của đồng cấu Lannes-Zarati modulo p trong các trường hợp M = Fp và M = H*(BZ/p). Luận án đã xác định được ảnh hoàn toàn của đồng cấu với 1 ≤ s ≤ 3, và ảnh của đồng cấu H*(BZ/p) với s = 0, 1.
• Đối với trường hợp p = 2, luận án đã kiểm tra và xác nhận các kết quả đã công bố về ảnh của đồng cấu Lannes-Zarati modulo 2, nhưng với phương pháp tính toán đơn giản hơn, không dựa vào kết quả của bài toán “hit”. Cụ thể, đã tính toán ảnh của các phần tử không phân tích được trong Ext6,6+t(F2, F2) qua đồng cấu Lannes-Zarati hạng 6 với 0 ≤ t ≤ 114.

Mục lục chi tiết:

• Mở đầu

  • Mở đầu - 1

• Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

  • 1.1. Đại số Steenrod - 4
  • 1.2. Môđun trên đại số Steenrod - 5
  • 1.3. Đồng cấu Lannes-Zarati - 5
  • 1.4. Phức dây chuyền Singer-Hưng-Sum - 7
  • 1.5. Đại số Lambda và đại số Dyer-Lashof - 8
  • 1.6. Dãy phổ - 9

• Chương 2. Biểu diễn dây chuyền của đồng cấu Lannes-Zarati

  • 2.1. Hàm tử Singer - 11
  • 2.2. Biểu diễn ở mức độ dây chuyền của đồng cấu Lannes-Zarati - 13
  • 2.3. Chứng minh Mệnh đề 2.2.2 - 14
  • 2.4. Toán tử lũy thừa - 15
  • 2.5. Trường hợp p = 2 - 16

• Chương 3. Ảnh của đồng cấu Lannes-Zarati

  • 3.1. Ảnh của đồng cấu Lannes-Zarati mod p trên Fp - 17
  • 3.2. Đối đồng điều của đại số Steenrod - 17
  • 3.3. Ảnh của đồng cấu Lannes-Zarati mod p trên H*(BZ/p) - 20
  • 3.4. Ảnh của đồng cấu Lannes-Zarati modulo 2 trên F2 và H*(BZ/2) - 21

• Kết luận

  • Kết luận - 23

• Tài liệu tham khảo

  • Tài liệu tham khảo - 24

• Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến Luận án

  • Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến Luận án - iii