Luận án Một số phương pháp giải bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại và bài toán chấp nhận tách nhiều tập

Tên luận án:

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TÌM KHÔNG ĐIỂM CỦA TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI VÀ BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH NHIỀU TẬP

Ngành:

Toán ứng dụng

Tóm tắt nội dung tài liệu:

Luận án này tập trung vào việc phát triển các phương pháp giải quyết bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại và bài toán chấp nhận tách nhiều tập trong không gian Hilbert. Tài liệu khái quát về tầm quan trọng của việc tìm cực tiểu của phiếm hàm lồi, dẫn đến phương pháp điểm gần kề của Martinet (1970) và mở rộng của Rockafellar (1976) cho toán tử đơn điệu cực đại. Tuy nhiên, phương pháp này chỉ đạt hội tụ yếu trong không gian Hilbert vô hạn chiều. Để khắc phục, nhiều cải biên đã được đề xuất nhưng thường yêu cầu điều kiện chặt chẽ về tham số. Luận án đặt ra câu hỏi về khả năng đạt hội tụ mạnh với tham số bất kỳ.

Một bài toán khác được nghiên cứu là tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu cực đại (A+B), vốn là cốt lõi của nhiều bài toán thực tế như bất đẳng thức biến phân, chấp nhận tách, cực tiểu hóa. Các phương pháp tách cổ điển như Peaceman-Rachford, Douglas-Rachford và tách tiến lùi thường chỉ đạt hội tụ yếu. Luận án đề xuất các cải biên để đạt hội tụ mạnh. Bài toán chấp nhận tách nhiều tập (MSSFP) cũng là một trọng tâm, với các ứng dụng trong học máy, xử lý ảnh, và điều chế cường độ xạ trị. Các phương pháp hiện có như CQ thường chỉ hội tụ yếu.

Luận án đã đạt được các kết quả chính sau: (1) Giới thiệu một cải biên của phương pháp điểm gần kề để tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert, chứng minh sự hội tụ mạnh mà không cần thêm điều kiện lên tham số của toán tử giải. (2) Đạt được kết quả tương tự cho bài toán bao hàm thức biến phân đơn điệu. (3) Đề xuất một phương pháp hiệu chỉnh lặp giải bài toán chấp nhận tách với hai họ vô hạn các tập đóng lồi, với điểm nhấn là việc chỉ dùng hữu hạn các tập của hai họ này ở mỗi bước lặp. (4) Cung cấp các ví dụ số minh họa cho các phương pháp đề xuất. Các hướng nghiên cứu tiếp theo bao gồm đề xuất và nghiên cứu sự hội tụ của các phương pháp lặp mới cho toán tử dạng đơn điệu, tổng hai toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert và Banach; đánh giá tốc độ hội tụ; và tiếp tục nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh lặp cho MSSFP với tham số lặp không phụ thuộc vào chuẩn của toán tử chuyển A.

Mục lục chi tiết:

• Chương 1: Một số khái niệm bài toán và phương pháp cơ bản

  • Mục 1.1 trình bày một số khái niệm cơ bản của giải tích lồi, toán tử đơn điệu và đơn điệu cực đại, tổng của hai toán tử đơn điệu.
  • Mục 1.2 giới thiệu tổng quan một số phương pháp tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại và tổng của hai toán tử đơn điệu cực đại.
  • Mục 1.3 trình bày về bài toán chấp nhận tách nhiều tập và các phương pháp giải.
  • Mục 1.4 là một số bổ đề được sử dụng để chứng minh các kết quả chính đạt được trong các chương tiếp theo của luận án.

• Chương 2: Phương pháp lặp cho toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert

  • 2.1. Phương pháp điểm gần kề với dãy tham số bất kỳ
  • 2.2. Ví dụ số minh họa

• Chương 3: Phương pháp lặp tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert

  • 3.1. Phương pháp dạng tách tiến lùi
  • 3.2. Ví dụ số minh họa

• Chương 4: Phương pháp hiệu chỉnh lặp cho bài toán chấp nhận tách nhiều tập trong không gian Hilbert

  • 4.1. Phương pháp hiệu chỉnh và nghiệm có chuẩn nhỏ nhất
  • 4.2. Phương pháp hiệu chỉnh lặp cho bài toán chấp nhận tách nhiều tập trong không gian Hilbert
  • 4.3. Ví dụ số minh họa

• KẾT LUẬN

• DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ