Tên luận án:
Hệ nhân tử trong nhóm phạm trù phân bậc
Ngành:
Đại số và Lý thuyết số (Mã số: 62. 46. 05. 01)
Tóm tắt nội dung tài liệu:
Luận án này nghiên cứu sâu rộng các khái niệm cơ bản trong lý thuyết phạm trù và ứng dụng của chúng, đặc biệt tập trung vào nhóm phạm trù phân bậc và hệ nhân tử. Xuất phát từ khái niệm phạm trù monoidal, luận án đi sâu vào các nhóm phạm trù, nhóm phạm trù đối xứng (Picard), và các khái niệm mở rộng như nhóm phạm trù Γ-phân bậc, nhóm phạm trù bện, và Ann-phạm trù – một phạm trù hóa của vành được N. T. Quang giới thiệu.
Công trình này giải quyết các vấn đề chính thông qua việc:
- Xác định kiểu của hàm tử monoidal giữa các nhóm phạm trù và phát triển lý thuyết cản trở tương ứng. Từ đó, luận án đưa ra định lý phân lớp chính xác cho phạm trù các nhóm phạm trù và phạm trù các nhóm phạm trù bện.
- Phân lớp các môđun chéo và xây dựng lý thuyết Schreier cho các mở rộng nhóm kiểu môđun chéo, mở rộng các kết quả đã biết của R. Brown và C. Spencer.
- Nghiên cứu nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ để phân lớp các Γ-môđun chéo và xây dựng lý thuyết Schreier cho các mở rộng nhóm đẳng biến kiểu Γ-môđun chéo. Kết quả này tổng quát hóa các lý thuyết mở rộng nhóm đẳng biến trước đó.
- Nghiên cứu Ann-phạm trù chặt chẽ, phân lớp các E-hệ chính quy (phiên bản môđun chéo trên nhóm cho vành) và các mở rộng vành kiểu E-hệ chính quy.
- Phân lớp phạm trù các nhóm phạm trù bện Γ-phân bậc bằng phương pháp hệ nhân tử.
Luận án đóng góp vào việc làm rõ mối liên hệ giữa lý thuyết nhóm phạm trù, đối đồng điều nhóm và bài toán mở rộng nhóm cổ điển, đồng thời phát triển các khái niệm và định lý phân lớp quan trọng trong lĩnh vực Đại số và Lý thuyết số.
Mục lục chi tiết:
-
MỞ ĐẦU
-
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị
- 1.1 Nhóm phạm trù (bện) phân bậc
- 1.1.1 Nhóm phạm trù
- 1.1.2 Nhóm phạm trù thu gọn và các tương đương chính tắc
- 1.1.3 Nhóm phạm trù phân bậc
- 1.1.4 Nhóm phạm trù bện phân bậc
- 1.2 Ann-phạm trù
- 1.2.1 Ann-phạm trù
- 1.2.2 Ann-hàm tử
- 1.2.3 Ann-phạm trù thu gọn
-
Chương 2: Phân lớp các hàm tử monoidal kiểu (φ, f) và ứng dụng
- 2.1 Phân lớp đối đồng điều các hàm tử monoidal kiểu (φ, f)
- 2.2 Phân lớp các nhóm phạm trù
- 2.3 Phân lớp các nhóm phạm trù bện
- 2.4 Phân lớp các nhóm phạm trù bện phân bậc bởi hệ nhân tử
- 2.5 Áp dụng vào bài toán mở rộng nhóm cổ điển
- 2.5.1 Nhóm phạm trù của một hạt nhân trừu tượng
- 2.5.2 Hàm tử monoidal và bài toán mở rộng nhóm
-
Chương 3: Nhóm phạm trù chặt chẽ và mở rộng nhóm kiểu môđun chéo
- 3.1 Nhóm phạm trù liên kết với một môđun chéo
- 3.2 Phân lớp các môđun chéo
- 3.3 Bài toán mở rộng nhóm kiểu môđun chéo: lý thuyết cản trở và định lý phân lớp
-
Chương 4: Nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ và mở rộng nhóm đẳng biến kiểu Γ-môđun chéo
- 4.1 Lý thuyết đối đồng điều nhóm đẳng biến của Cegarra
- 4.2 Nhóm phạm trù phân bậc thu gọn và hàm tử monoidal phân bậc kiểu (φ, f)
- 4.2.1 Xây dựng nhóm phạm trù phân bậc thu gọn thông qua phạm trù khung
- 4.2.2 Xây dựng nhóm phạm trù phân bậc thu gọn bằng phương pháp hệ nhân tử
- 4.2.3 Phân lớp các hàm tử monoidal phân bậc kiểu (φ, f)
- 4.3 Γ-môđun chéo và nhóm phạm trù phân bậc liên kết
- 4.4 Phân lớp các Γ-môđun chéo
- 4.5 Bài toán mở rộng nhóm đẳng biến kiểu Γ-môđun chéo: lý thuyết cản trở và định lý phân lớp
-
Chương 5: Ann-phạm trù chặt chẽ và mở rộng vành kiểu E-hệ chính quy
- 5.1 Lý thuyết đối đồng điều vành của Mac Lane và Shukla
- 5.2 Song môđun chéo và E-hệ chính quy
- 5.3 Phân lớp các E-hệ chính quy
- 5.4 Mở rộng vành kiểu E-hệ chính quy
-
KẾT LUẬN
-
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ CÓ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
-
CÁC KẾT QUẢ TRONG LUẬN ÁN ĐÃ ĐƯỢC BÁO CÁO VÀ THẢO LUẬN TẠI