Luận án Các điều kiện cực trị, tính ổn định nghiệm và phương pháp số cho một số bài toán điều khiển tối ưu elliptic nửa tuyến tính

Tên luận án:

Các điều kiện cực trị, tính ổn định nghiệm và phương pháp số cho một số bài toán điều khiển tối ưu elliptic nửa tuyến tính (OPTIMALITY CONDITIONS, SOLUTION STABILITY AND NUMERICAL METHODS FOR OPTIMAL CONTROL PROBLEMS GOVERNED BY SEMILINEAR ELLIPTIC EQUATIONS)

Ngành:

Toán học (nghiên cứu về lý thuyết điều khiển tối ưu, phương trình vi phân riêng phần và phương pháp số).

Tóm tắt nội dung tài liệu:

Luận án này nghiên cứu các bài toán điều khiển tối ưu được chi phối bởi các phương trình elliptic nửa tuyến tính với các ràng buộc điểm hỗn hợp, giải quyết bốn chủ đề chính của lý thuyết điều khiển tối ưu. Nghiên cứu bắt đầu bằng việc nhấn mạnh tầm quan trọng của lý thuyết điều khiển tối ưu trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật, đặc biệt là các bài toán điều khiển tối ưu được chi phối bởi phương trình elliptic nửa tuyến tính do tính ứng dụng rộng rãi trong tối ưu hóa cấu trúc, khoa học vật liệu và quản lý môi trường.

Mục tiêu chính của luận án là:

• Thiết lập các điều kiện tối ưu và nghiên cứu tính chính quy của nghiệm cũng như các nhân tử Lagrange cho các bài toán điều khiển biên Neumann với các ràng buộc trạng thái-điều khiển hỗn hợp phi tuyến, trong đó các điều khiển tác động cả trong miền và trên biên.
• Phân tích tính ổn định của ánh xạ nghiệm đối với các bài toán điều khiển tối ưu tham số, chỉ ra rằng ánh xạ nghiệm là liên tục Lipschitz cục bộ dưới các điều kiện nhất định khi có nhiễu loạn tham số.
• Phát triển các phương pháp số sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để tính toán các nghiệm xấp xỉ. Luận án cung cấp các kết quả về sự hội tụ và ước lượng sai số của các nghiệm xấp xỉ.
• Minh họa các kết quả thu được bằng một ví dụ số sử dụng triển khai Python với DOLFIN để tạo ra các kết quả số, cung cấp cái nhìn trực quan về ước lượng sai số cho các nghiệm xấp xỉ của bài toán điều khiển elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc trạng thái-điều khiển hỗn hợp.

Tóm lại, luận án đóng góp giá trị vào việc phân tích và tính toán các bài toán điều khiển tối ưu ràng buộc bởi phương trình đạo hàm riêng. Các kết quả về điều kiện tối ưu, tính chính quy của nghiệm và các nhân tử Lagrange, cùng với tính ổn định của ánh xạ nghiệm và các phương pháp số, đều đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển lý thuyết và ứng dụng thực tiễn.

Mục lục chi tiết:

• INTRODUCTION

  • 1. Motivation
• 2. Objective
• 3. The structure and results of the dissertation

• CHAPTER 0 PRELIMINARIES AND AUXILIARY RESULTS

  • 0.1 Variational analysis and mathematical programming
    • 0.1.1 Tangent cones and normal cones
    • 0.1.2 Mathematical programming
  • 0.2 Sobolev spaces and elliptic equations
    • 0.2.1 Sobolev spaces
    • 0.2.2 Semilinear elliptic equations
  • 0.3 Conclusions

• CHAPTER 1 OPTIMALITY CONDITIONS, REGULARITY OF SOLUTIONS AND LAGRANGE MULTIPLIERS

  • 1.1 Assumptions and main results
  • 1.2 Mathematical programming problem
  • 1.3 Existence of optimal solution
  • 1.4 Optimality conditions for OCP
  • 1.5 Continuity regularity of optimal solutions and corresponding multipliers
  • 1.6 Conclusions

• CHAPTER 2 STABILITY OF SOLUTION TO PARAMETRIC SEMILINEAR ELLIPTIC OPTIMAL CONTROL PROBLEMS

  • 2.1 Local stability of solution maps
  • 2.2 Existence of global optimal solution to problem (POCP(λ))
  • 2.3 Stability of Lagrange multipliers
  • 2.4 Lipschitz stability of locally optimal solutions
  • 2.5 Conclusions

• CHAPTER 3 ERROR ESTIMATE FOR FEM METHOD TO A SEMILINEAR ELLIPTIC CONTROL PROBLEM

  • 3.1 First-and second-order optimality conditions
  • 3.2 Error estimates for solutions to state equations and adjoint equations
  • 3.3 Convergence and error estimates for approximate solutions
  • 3.4 Numerical example
  • 3.5 Conclusions

• GENERAL CONCLUSIONS