Luận án Dáng điệu tiệp cận và bài toán điều khiển đối với một số lớp phương trình parabolic suy biến mạnh

Tên luận án:

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN MẠNH

Ngành:

Toán giải tích

Tóm tắt nội dung tài liệu:

Luận án này tập trung nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm và bài toán điều khiển đối với một số lớp phương trình parabolic suy biến mạnh. Các phương trình này có ý nghĩa quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học và công nghệ, nhưng việc nghiên cứu chúng gặp nhiều khó khăn toán học do tính suy biến mạnh, như thiếu các định lí nhúng cần thiết, các kết quả về tính chính quy nghiệm, nguyên lí cực trị, và các ước lượng kiểu Carleman.

Nghiên cứu được chia thành ba trọng tâm chính:

• **Trên miền bị chặn:** Luận án chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu, cùng với sự tồn tại tập hút toàn cục cho một lớp phương trình parabolic nửa tuyến tính chứa toán tử suy biến mạnh △λ. Để đạt được điều này, các phương pháp xấp xỉ Galerkin, phương pháp compact và phương pháp năng lượng đã được sử dụng, đồng thời xây dựng các không gian Sobolev có trọng và chứng minh các phép nhúng compact.
• **Trên toàn không gian R^N:** Luận án mở rộng nghiên cứu sang lớp phương trình parabolic nửa tuyến tính chứa toán tử suy biến mạnh P_s,γ. Các kết quả về sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu, cũng như sự tồn tại tập hút toàn cục trong các không gian L²(R^N) và S¹(R^N) đã được thiết lập. Một đóng góp quan trọng là việc vượt qua khó khăn do tính không compact của phép nhúng bằng cách kết hợp phương pháp đánh giá phần đuôi của nghiệm và phương pháp đánh giá tiên nghiệm tiệm cận.
• **Tính điều khiển được:** Luận án khảo sát tính điều khiển được về 0 của phương trình parabolic chứa toán tử suy biến mạnh P_s,γ trong trường hợp nhiều chiều. Các kết quả cụ thể bao gồm:
  • Khi s + γ ∈ (0, 1/2) (suy biến yếu), tính điều khiển được về 0 tại mọi thời điểm T > 0 được chứng minh.
  • Khi s = γ = 1/2 (suy biến mạnh), tính điều khiển được về 0 được chứng minh khi thời gian điều khiển đủ lớn (T > T*).
  • Khi s + γ > 1 (suy biến quá mạnh), luận án chứng minh tính không điều khiển được về 0.

  Việc chứng minh các kết quả điều khiển được dựa trên việc thiết lập các bất đẳng thức Carleman mới và sử dụng phương pháp duy nhất Hilbert (HUM).

Nhìn chung, luận án đã đạt được những kết quả mới đáng kể, góp phần mở rộng hiểu biết về lí thuyết phương trình parabolic suy biến mạnh, đặc biệt đối với các hàm phi tuyến không bị chặn và trong bối cảnh đa chiều.

Mục lục chi tiết:

• Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

  • 1.1. Các lớp toán tử
  • 1.2. Các không gian hàm
  • 1.3. Lí thuyết tập hút toàn cục
  • 1.4. Lí thuyết điều khiển được đối với phương trình parabolic tuyến tính
  • 1.4.1. Một số định nghĩa
  • 1.4.2. Phương pháp duy nhất Hilbert (HUM)
  • 1.5. Một số kết quả bổ trợ

• Chương 2. TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN MẠNH TRÊN MIỀN BỊ CHẶN

  • 2.1. Đặt bài toán
  • 2.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu
  • 2.3. Sự tồn tại của tập hút toàn cục
  • 2.3.1. Sự tồn tại các tập hấp thụ bị chặn
  • 2.3.2. Tính compact tiệm cận của nửa nhóm {S(t)}_t≥0

• Chương 3. TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN MẠNH TRÊN TOÀN KHÔNG GIAN

  • 3.1. Đặt bài toán
  • 3.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
  • 3.3. Sự tồn tại của tập hút toàn cục
  • 3.3.1. Sự tồn tại các tập hấp thụ bị chặn
  • 3.3.2. Sự tồn tại tập hút toàn cục trong L²(R^N)
  • 3.3.3. Sự tồn tại tập hút toàn cục trong S¹(R^N)

• Chương 4. TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN MẠNH

  • 4.1. Đặt bài toán và phát biểu kết quả chính
  • 4.2. Một số kết quả bổ trợ
  • 4.2.1. Tính đặt đúng của bài toán
  • 4.2.2. Khai triển Fourier và tốc độ tán xạ
  • 4.2.3. Bất đẳng thức Carleman
  • 4.3. Chứng minh kết quả chính
  • 4.3.1. Lược đồ chứng minh Định lí 4.1
  • 4.3.2. Chứng minh tính điều khiển được trong Định lí 4.1
  • 4.3.3. Chứng minh tính không điều khiển được trong Định lí 4.1