Luận án Chặn trên cho một số bất biến của vành và iđêan phân bậc

Tên luận án:

CHẶN TRÊN CHO MỘT SỐ BẤT BIẾN CỦA VÀNH VÀ IĐÊAN PHÂN BẬC

Ngành:

ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ (MÃ SỐ: 9460104)

Tóm tắt nội dung tài liệu:

Luận án này tập trung nghiên cứu các chặn trên cho một số bất biến quan trọng của vành và iđêan phân bậc, chủ yếu trong bối cảnh vành địa phương. Các phương pháp được sử dụng trong nghiên cứu liên quan đến đại số Rees và vành phân bậc liên kết.

Nội dung chính của luận án được triển khai theo ba hướng nghiên cứu. Hướng thứ nhất là thiết lập các chặn trên của các hệ số Hilbert. Cụ thể, tác giả đã khảo sát tính không dương của các hệ số Hilbert của iđêan m-nguyên sơ J dưới một số điều kiện về đại lượng σ(J) và số mũ rút gọn r(J) (Định lý 2.1.3, Định lý 2.1.4). Đồng thời, luận án cũng thiết lập các chặn cho các hệ số Hilbert eᵢ(Q), với i ≥ 2, của iđêan tham số Q, các chặn này được biểu diễn theo hệ số Chern e₁(Q) và chiều, mà không phụ thuộc vào số bội e(Q) (Định lý 2.2.3).

Hướng thứ hai giải quyết bài toán nhiễu của iđêan trong vành Noether địa phương. Luận án đã thiết lập một chặn tuyến tính cho chỉ số nhiễu Hilbert N(I,J) của iđêan I ứng với iđêan m-nguyên sơ J, dựa trên bậc đồng điều hdeg(J,R/I) (Định lý 3.1.8). Kết quả này được nhận định là một cải tiến so với các chặn đã có trước đó. Ngoài ra, luận án còn chứng minh sự bảo toàn của hàm Hilbert-Samuel đối ngẫu liên kết với môđun đối Cohen-Macaulay dưới tác động của nhiễu J-adic (Định lý 3.2.7).

Hướng thứ ba tập trung vào chỉ số chính quy của iđêan khử liên kết với đồ thị. Luận án đã trình bày các khái niệm cơ bản về lý thuyết đồ thị và phương pháp khử đỉnh trội (DVE) để định nghĩa iđêan khử liên kết với đồ thị. Từ đó, tác giả tính toán chỉ số ổn định bậc của một số lớp đồ thị đặc biệt và thiết lập các chặn trên tổ hợp cho chỉ số chính quy của iđêan khử liên kết với các lớp đồ thị này. Các lớp đồ thị được nghiên cứu bao gồm đồ thị nòng nọc (Định lý 4.2.4), đồ thị cối xay gió Hà Lan (Định lý 4.2.8), đồ thị cối xay gió (Định lý 4.2.13) và đồ thị n-tạ (Định lý 4.2.17). Các chặn này được nhận xét là tốt hơn các chặn đã có trong tài liệu.

Mục lục chi tiết:

• Mở đầu
• 1 Các kiến thức chuẩn bị
  • 1.1 Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford
  • 1.2 Hệ tham số chuẩn tắc
  • 1.3 Hàm Hilbert-Samuel đối ngẫu liên kết với môđun Artin
• 2 Chặn cho các hệ số Hilbert
  • 2.1 Dấu các hệ số Hilbert của iđêan m-nguyên sơ
  • 2.2 Chặn cho các hệ số Hilbert của iđêan tham số
• 3 Nhiễu của iđêan trong vành địa phương
  • 3.1 Chặn tuyến tính cho chỉ số nhiễu Hilbert
  • 3.2 Nhiễu của hàm Hilbert-Samuel đối ngẫu
• 4 Chỉ số chính quy của iđêan khử liên kết với đồ thị
  • 4.1 Iđêan khử liên kết với đồ thị
  • 4.2 Chỉ số chính quy của iđêan khử liên kết với đồ thị
• Kết luận
• Danh mục các công trình của tác giả
• Tài liệu tham khảo