BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ
Toán giải tích
Luận án tập trung nghiên cứu bài toán ổn định và ổn định hóa đối với một số lớp phương trình vi phân bậc phân số, một lĩnh vực toán học thuần túy đang ngày càng thu hút sự quan tâm do ứng dụng thực tiễn rộng rãi. Mặc dù lý thuyết ổn định cho hệ vi phân bậc nguyên đã đạt nhiều thành tựu, các kết quả cho hệ bậc phân số, đặc biệt trong không gian vô hạn chiều, còn rất khiêm tốn và gặp nhiều khó khăn do các phương pháp truyền thống không còn hiệu lực.
Đề tài nghiên cứu ba nội dung chính. Thứ nhất, luận án khám phá tính đồng bộ toàn cục với tốc độ hội tụ kiểu đa thức cho mô hình mạng nơron Hopfield bậc phân số với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ, một vấn đề mà các nghiên cứu trước đây chỉ giới hạn ở trọng số kết nối hằng và trễ bị chặn. Thứ hai, luận án xem xét nghiệm hút toàn cục của bao hàm thức vi phân bậc phân số kiểu Sobolev trong không gian Banach vô hạn chiều, xuất phát từ các bài toán điều khiển phản hồi đa trị và chính quy hóa phương trình vi phân phi tuyến. Cuối cùng, luận án tập trung vào ổn định hóa bằng điều khiển phản hồi phân quyền đối với các hệ dương bậc phân số dạng kết nối, cả trong trường hợp có trễ và tham số không chắc chắn.
Phương pháp nghiên cứu kết hợp giải tích hàm phi tuyến, giải tích bậc phân số, giải tích đa trị, lý thuyết ổn định Lyapunov, lý thuyết điểm bất động và lý thuyết nửa nhóm toán tử. Các kỹ thuật so sánh kiểu Lyapunov-Razumikhin, lý thuyết độ đo không compact và bài toán quy hoạch tuyến tính (LP) được áp dụng.
Các kết quả chính của luận án bao gồm việc thiết lập điều kiện đồng bộ toàn cục cho mạng nơron Hopfield bậc phân số, chứng minh sự tồn tại nghiệm tích phân và nghiệm hút toàn cục cho bao hàm thức vi phân bậc phân số kiểu Sobolev, và đưa ra các điều kiện cần và đủ cho tính ổn định, ổn định hóa bằng điều khiển phân quyền cho hệ dương bậc phân số dạng kết nối. Các kết quả này đã được công bố trong 04 bài báo trên các tạp chí quốc tế uy tín.