DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC BAO HÀM THỨC VI PHÂN CÓ TRỄ
Phương trình vi phân và tích phân
Luận án tập trung nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính không ô-tô-nôm có trễ trong không gian Banach tổng quát. Đây là các mô hình quan trọng trong nhiều bài toán thực tế, đặc biệt khi có yếu tố trễ thời gian. Các vấn đề cốt lõi được xem xét bao gồm sự tồn tại nghiệm tích phân, sự tồn tại tập hút lùi, tính ổn định tiệm cận yếu và tính hút trong khoảng thời gian hữu hạn của nghiệm.
Mục đích chính của nghiên cứu là thiết lập các điều kiện đủ để kiểm tra tính chất compact tiệm cận của hệ động lực đa trị sinh bởi bao hàm thức vi phân chứa trễ hữu hạn hoặc vô hạn, từ đó chứng minh sự tồn tại tập hút lùi. Luận án cũng thiết lập các điều kiện đảm bảo tính ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường cho lớp bao hàm thức tiến hóa có trễ vô hạn và xây dựng điều kiện đủ cho tính hút trong thời gian hữu hạn của nghiệm tầm thường đối với lớp bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính có trễ hữu hạn.
Các phương pháp nghiên cứu chủ yếu bao gồm lí thuyết nửa nhóm, các ước lượng độ đo không compact, công cụ giải tích đa trị và định lí điểm bất động cho ánh xạ nén. Cụ thể, luận án sử dụng lược đồ về tập hút lùi của Caraballo và Kloeden, cùng nguyên lí điểm bất động cho ánh xạ nén và kỹ thuật ước lượng tiên nghiệm.
Các kết quả đạt được bao gồm: Đối với lớp bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính không ô-tô-nôm với trễ hữu hạn, luận án chứng minh sự tồn tại nghiệm tích phân và tập hút lùi, áp dụng cho hệ vi phân đạo hàm riêng dạng đa diện và hệ vi phân lưới. Luận án cũng đưa ra các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm trên đoạn compact với phần phi tuyến có thể tăng trưởng trên tuyến tính và tính hút trong thời gian hữu hạn cho nghiệm tầm thường. Đối với lớp bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính không ô-tô-nôm với trễ vô hạn, nghiên cứu đã đạt được các kết quả về tính giải được và sự tồn tại tập hút lùi thông qua một tiêu chuẩn mới về tính compact tiệm cận. Điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm phân rã và tính ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường cũng được thiết lập, với ứng dụng cho lớp phương trình đạo hàm riêng parabolic đa trị.
Các kết quả này góp phần làm phong phú thêm hướng nghiên cứu ổn định nghiệm cho các bao hàm thức vi phân có trễ trong không gian Banach tổng quát, có tiềm năng ứng dụng rộng rãi trong các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến và hệ vi phân thường có trễ.