Luận án Một số vấn đề về phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên

Tên luận án:

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ CAPUTO NGẪU NHIÊN

Ngành:

Toán ứng dụng

Tóm tắt nội dung tài liệu:

Luận án tập trung nghiên cứu một số vấn đề quan trọng liên quan đến phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên, một lĩnh vực tương đối mới kết hợp giữa giải tích phân thứ và lý thuyết xác suất. Lý thuyết này có ưu thế trong việc mô phỏng các quá trình có trí nhớ, với đạo hàm Caputo dễ áp dụng cho các bài toán thực tế do điều kiện ban đầu có ý nghĩa vật lý. Luận án được thực hiện nhằm khắc phục những hạn chế của các công trình nghiên cứu trước đó, vốn thường chỉ dừng lại ở việc thiết lập sự tồn tại và duy nhất nghiệm hoặc nghiên cứu tính chính quy của nghiệm với các điều kiện khá chặt.

Các đóng góp chính của luận án bao gồm:

• Sự tồn tại và duy nhất nghiệm: Luận án đã chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm cổ điển cũng như nghiệm nhẹ cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên với bậc α ∈ (1/2, 1).
• Công thức biến thiên hằng số: Đã đưa ra công thức biến thiên hằng số cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên bậc α ∈ (1/2, 1).
• Tính phụ thuộc liên tục: Chứng minh được sự phụ thuộc liên tục của nghiệm cổ điển vào giá trị ban đầu.
• Tính chất nghiệm: Khảo sát khoảng cách tiệm cận giữa hai nghiệm phân biệt, chỉ ra rằng khoảng cách này tiến đến 0 không nhanh hơn tốc độ đa thức với số mũ đủ lớn. Từ đó, chứng minh số mũ Lyapunov bình phương trung bình của nghiệm không tầm thường bất kỳ của phương trình tuyến tính luôn không âm.
• Lược đồ số Euler-Maruyama: Xây dựng lược đồ số kiểu Euler-Maruyama cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên, đánh giá tốc độ hội tụ. Đồng thời, xây dựng và đánh giá tốc độ hội tụ cũng như tính ổn định của lược đồ Euler-Maruyama mũ cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên tuyến tính một chiều.

Luận án được cấu trúc thành ba chương, bao gồm các kiến thức chuẩn bị, nghiên cứu các tính chất của nghiệm, và phát triển các lược đồ số. Những kết quả này góp phần mở rộng hiểu biết về lý thuyết và ứng dụng của phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên, đồng thời mở ra các hướng nghiên cứu tiếp theo về tính ổn định, tính chính quy và các lược đồ số khác.

Mục lục chi tiết:

• Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

  • 1.1 Một số kiến thức về giải tích ngẫu nhiên
  • 1.2 Một số kiến thức về giải tích phân thứ

• Chương 2: Một số tính chất của nghiệm phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên

  • 2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm cổ điển của phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên
  • 2.2 Sự phụ thuộc liên tục vào giá trị ban đầu của nghiệm cổ điển phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên
  • 2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm nhẹ của phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên
  • 2.4 Công thức biến thiên hằng số cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên
  • 2.5 Cận dưới cho sự phân tách tiệm cận giữa hai nghiệm phân biệt của phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên

• Chương 3: Lược đồ số kiểu Euler-Maruyama cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên

  • 3.1 Lược đồ số kiểu Euler-Maruyama cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên
  • 3.2 Tốc độ hội tụ của lược đồ số kiểu Euler-Maruyama
  • 3.3 Lược đồ Euler-Maruyama mũ cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên một chiều tuyến tính
    • 3.3.1 Lược đồ Euler-Maruyama mũ
    • 3.3.2 Tốc độ hội tụ và sự ổn định của phương pháp Euler-Maruyama mũ