THUẬT TOÁN GIẢI MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
Toán ứng dụng
Mã số: 9 46 01 12
Luận án tập trung nghiên cứu các vấn đề liên quan đến bài toán cân bằng (Equilibrium problem - EP) và bài toán điểm bất động, đặc biệt là trong các trường hợp song hàm không đơn điệu hoặc giả đơn điệu. Xuất phát từ thực tế các phương pháp giải EP hiện có thường đòi hỏi các giả thiết mạnh như tính lồi hay đơn điệu của song hàm, luận án hướng tới giải quyết những hạn chế này, đặc biệt là với song hàm không đơn điệu. Ngoài ra, luận án còn xem xét bài toán tìm nghiệm chung của một họ các bài toán cân bằng và bài toán tìm điểm chung của bài toán cân bằng với bài toán điểm bất động.
Mục tiêu chính của luận án bao gồm việc xây dựng các phương pháp giải bài toán cân bằng với song hàm không đơn điệu. Luận án cũng nghiên cứu mối quan hệ giữa tập nghiệm của bài toán cân bằng tổ hợp và giao của các tập nghiệm của các bài toán cân bằng riêng lẻ, chứng minh rằng giả thiết đơn điệu là chưa đủ để hai tập này bằng nhau và thiết lập điều kiện đủ cho sự bằng nhau đó. Cuối cùng, luận án đề xuất các thuật toán tìm điểm chung của tập nghiệm bài toán cân bằng với song hàm giả đơn điệu (thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz) và tập các điểm bất động của ánh xạ tựa không giãn.
Để đạt được các mục tiêu này, luận án sử dụng các phương pháp nghiên cứu như chiếu nhúng kết hợp với tìm kiếm theo tia, phản ví dụ, giải tích lồi, giải tích hàm, lý thuyết điểm bất động và tối ưu. Các thuật toán được đề xuất là sự kết hợp của phương pháp dưới đạo hàm tăng cường (subgradient extragradient) và lặp Ishikawa.
Các kết quả nổi bật của luận án bao gồm việc đề xuất hai thuật toán mới (Thuật toán 2.1 và 2.2) để giải bài toán cân bằng với song hàm không đơn điệu, đồng thời chứng minh sự hội tụ mạnh của chúng. Luận án cũng chỉ ra rằng tập nghiệm của bài toán cân bằng tổ hợp và giao các tập nghiệm của họ các bài toán cân bằng có thể không bằng nhau khi các song hàm là đơn điệu (Định lý 3.6), và đã thiết lập một điều kiện đủ để hai tập này là bằng nhau (Định lý 3.7). Hơn nữa, luận án đã xây dựng một thuật toán (Thuật toán 4.1) để tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng giả đơn điệu và bài toán điểm bất động của ánh xạ tựa không giãn, chứng minh được sự hội tụ mạnh của thuật toán đến nghiệm chung của bài toán.