Luận án Một số lược đồ xấp xỉ cho phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số không chính qui

Tên luận án:

MỘT SỐ LƯỢC ĐỒ XẤP XỈ CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN VỚI HỆ SỐ KHÔNG CHÍNH QUI

Ngành:

Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Tóm tắt nội dung tài liệu:

Luận án này tập trung vào việc xấp xỉ các phương trình vi phân ngẫu nhiên (PTVPNN) với hệ số không chính qui, một lĩnh vực quan trọng do sự ứng dụng rộng rãi của PTVPNN trong toán tài chính, vật lý, sinh học và điều khiển tối ưu. Các mô hình PTVPNN hiện đại thường có hệ số không thỏa mãn điều kiện Lipschitz toàn cục, đòi hỏi các kỹ thuật xấp xỉ tiên tiến.

Thách thức chính trong thực tiễn là tính toán các đại lượng dạng E[f(X)], trong đó X là nghiệm của PTVPNN. Do việc tính toán chính xác chỉ khả thi trong một số ít trường hợp, việc xây dựng các lược đồ xấp xỉ kiểu Monte Carlo hiệu quả là cần thiết. Luận án đề cập đến phương pháp Monte Carlo đa cấp của Giles, nhấn mạnh tầm quan trọng của việc đánh giá tốc độ hội tụ trong không gian L^p. Đồng thời, luận án cũng chỉ ra rằng các lược đồ xấp xỉ không chỉ cần hội tụ mà còn phải bảo toàn các tính chất quan trọng của nghiệm đúng, như tính ổn định và tính chất hình học của miền giá trị, điều mà các lược đồ Euler-Maruyama cổ điển thường không đáp ứng, đặc biệt với hệ số không chính qui.

Mục tiêu nghiên cứu của luận án là thiết lập các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm, đồng thời xây dựng các lược đồ xấp xỉ cho các lớp PTVPNN không chính qui. Cụ thể, luận án giới thiệu các lược đồ xấp xỉ dạng khống chế cho PTVPNN có hệ số tăng trên tuyến tính, liên tục Lipschitz địa phương hoặc Hölder, và lược đồ Euler-Maruyama cải tiến nhằm bảo toàn tính không âm và tính ổn định. Ngoài ra, luận án còn phát triển lược đồ xấp xỉ Milstein dạng nửa ẩn cho hệ PTVPNN biểu diễn hệ điểm không va chạm, chứng minh các lược đồ này đảm bảo tính không va chạm và hội tụ mạnh với tốc độ bằng 1. Các đóng góp này làm phong phú thêm hướng nghiên cứu về giải số PTVPNN và cung cấp các kết quả mạnh mẽ hơn so với các kết quả cổ điển.

Mục lục chi tiết:

• CHƯƠNG 1 SƠ LƯỢC VỀ GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN
  • 1.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô
    • 1.1.1 Tích phân ngẫu nhiên Itô
    • 1.1.2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên
    • 1.1.3 Tính bị chặn và liên tục của mô men nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên
    • 1.1.4 Tính ổn định của nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên
  • 1.2 Xấp xỉ nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên
    • 1.2.1 Phương pháp Monte-Carlo đa cấp
    • 1.2.2 Định lý cơ bản của sự hội tụ theo trung bình
    • 1.2.3 Lược đồ Euler
    • 1.2.4 Lược đồ Milstein
  • 1.3 Một số kết quả cơ bản về giải số nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên
    • 1.3.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số không chính qui
    • 1.3.2 Tính ổn định của nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ
• CHƯƠNG 2 LƯỢC ĐỒ EULER – MARUYAMA KHỐNG CHẾ CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN
  • 2.1 Giới thiệu bài toán
  • 2.2 Một số điều kiện
  • 2.3 Xấp xỉ Yamada-Watanabe
  • 2.4 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số không chính qui
  • 2.5 Tốc độ hội tụ mạnh cho phương trình vi phân ngẫu nhiên có hệ số dịch chuyển tăng trên tuyến tính và hệ số khuyếch tán liên tục Hölder
  • 2.6 Tốc độ hội tụ mạnh cho phương trình vi phân ngẫu nhiên có hệ số dịch chuyển tăng trên tuyến tính và hệ số khuyếch tán liên tục Hölder địa phương
• CHƯƠNG 3 SỰ HỘI TỤ, TÍNH KHÔNG ÂM VÀ ỔN ĐỊNH CỦA LƯỢC ĐỒ EULER-MARUYAMA CẢI TIẾN
  • 3.1 Giới thiệu bài toán
  • 3.2 Một số điều kiện
  • 3.3 Mở rộng xấp xỉ của Yamada và Watanabe
  • 3.4 Lược đồ Euler-Maruyama cải tiến
  • 3.5 Sự hội tụ
  • 3.6 Tính ổn định mũ theo chuẩn trong L^p
  • 3.7 Xấp xỉ không âm
• CHƯƠNG 4 LƯỢC ĐỒ MILSTEIN NỬA ẨN CHO HỆ ĐIỂM KHÔNG VA CHẠM
  • 4.1 Giới thiệu bài toán
  • 4.2 Một số điều kiện
  • 4.3 Lược đồ Euler-Maruyama nửa ẩn
  • 4.4 Lược đồ xấp xỉ Milstein nửa ẩn
    • 4.4.1 Biểu diễn sai số
    • 4.4.2 Tốc độ hội tụ của lược đồ