SỰ TỒN TẠI VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC THỦY KHÍ
Toán học
Luận án tiến sĩ này tập trung nghiên cứu sự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn cho một số lớp phương trình động lực học thủy khí. Các hệ phương trình trong cơ học chất lỏng, như Navier-Stokes và Oldroyd-B, đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả chuyển động chất lỏng và khí, xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khoa học và công nghiệp. Việc tìm hiểu tính chất định tính của nghiệm, đặc biệt là tính ổn định và tính tuần hoàn, là hướng nghiên cứu thời sự để đánh giá quy mô và tính chất của dòng chảy trong tương lai, sử dụng các công cụ toán học hiện đại trong không gian hàm tổng quát.
Mục đích chính của luận án là nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định của nghiệm đủ tốt tuần hoàn cho ba dạng phương trình tiến hóa: phương trình tiến hóa tuyến tính, phương trình tiến hóa nửa tuyến tính, và phương trình Oseen-Navier-Stokes không ô-tô-nôm trong miền ngoại vi. Phạm vi nghiên cứu bao gồm phương trình tiến hóa tuyến tính với điều kiện nửa nhóm liên kết ổn định cấp đa thức, áp dụng vào phương trình Stokes và nửa nhóm thỏa mãn ước lượng Gaussian; phương trình tiến hóa nửa tuyến tính với điều kiện nửa nhóm liên kết (X, Y, φ)-ổn định, áp dụng vào phương trình Navier-Stokes trong miền bị chặn và miền ngoại vi, cũng như phương trình sóng tắt dần; và phương trình Oseen-Navier-Stokes trên miền ngoại vi với điều kiện ban đầu và ngoại lực thuộc không gian Lorentz.
Các phương pháp nghiên cứu chính được sử dụng bao gồm nguyên lí Serrin, nguyên lí điểm bất động, phương pháp Massera, cùng với việc tận dụng tính ổn định, tính bị chặn của nghiệm và tính compact.
Luận án đã đạt được các kết quả chính sau: chỉ ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm đủ tốt tuần hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính với toán tử A sinh ra nửa nhóm giải tích thỏa mãn một số điều kiện ổn định, sau đó áp dụng để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình Stokes trong không gian các hàm bị chặn và các phương trình tuyến tính có nửa nhóm thỏa mãn ước lượng Gauss. Mở rộng kết quả cho lớp phương trình tiến hóa nửa tuyến tính, toán tử A sinh ra nửa nhóm thỏa mãn điều kiện (X, Y, φ)-ổn định, chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm đủ tốt tuần hoàn cho cả phương trình tuyến tính và phi tuyến, áp dụng vào các phương trình dạng hyperbolic và parabolic, bao gồm Navier-Stokes trong miền bị chặn và ngoại vi, cùng phương trình sóng tắt dần. Cuối cùng, chứng minh sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định cấp đa thức của nghiệm đủ tốt tuần hoàn của phương trình Oseen-Navier-Stokes không ô-tô-nôm (với vận tốc của vật cản quay và dịch chuyển phụ thuộc thời gian) trong miền ngoại vi trong không gian Lorentz. Các kết quả này đã được công bố trong ba bài báo khoa học. Luận án cũng đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo liên quan đến nghiệm tuần hoàn, hầu tuần hoàn, và tính ổn định trong các không gian hàm khác cho các lớp phương trình đã nghiên cứu.