LŨY THỪA HÌNH THỨC CỦA CÁC IĐÊAN ĐƠN THỨC
Đại số và lý thuyết số
Luận án này tập trung nghiên cứu chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford (reg(I)) của các iđêan đơn thức, đặc biệt là lũy thừa hình thức của chúng. Đối với lũy thừa thông thường của iđêan I, hàm reg(Iⁿ) được biết là tuyến tính khi n đủ lớn, nhưng thông tin về các hệ số và điểm ổn định còn hạn chế. Khi chuyển sang lũy thừa hình thức I⁽ⁿ⁾, dáng điệu của hàm chỉ số chính quy trở nên phức tạp hơn, do đại số Rees hình thức không luôn là hữu hạn sinh. Tuy nhiên, đối với iđêan đơn thức, đại số Rees hình thức là hữu hạn sinh, và hàm reg(I⁽ⁿ⁾) là tựa tuyến tính khi n đủ lớn.
Luận án giải quyết ba bài toán chính.
Bài toán thứ nhất xem xét sự tồn tại của giới hạn limn→∞ reg(I⁽ⁿ⁾)/n cho một iđêan đơn thức bất kỳ. Sử dụng lý thuyết đa diện lồi, luận án chứng minh rằng giới hạn này luôn tồn tại và bằng δ(I), một giá trị được mô tả cụ thể qua các đỉnh của đa diện lồi SP(I) liên kết với iđêan I (Định lý 2.5, 2.7). Kết quả này mở rộng các nghiên cứu trước đây vốn chỉ giới hạn ở iđêan đơn thức không chứa bình phương. Tuy nhiên, luận án cũng chỉ ra rằng hàm reg(I⁽ⁿ⁾) nói chung không phải là hàm tuyến tính khi n đủ lớn, ngay cả trong trường hợp iđêan đơn thức không chứa bình phương (Ví dụ 2.16).
Bài toán thứ hai là tìm chặn trên tốt cho reg(I⁽ⁿ⁾) theo n. Luận án áp dụng công thức Takayama và lý thuyết đa diện lồi để xây dựng các chặn trên. Đối với iđêan đơn thức không chứa bình phương, các chặn này được mô tả dựa trên dữ liệu tổ hợp từ phức đơn hình và siêu đồ thị liên kết với iđêan (Định lý 3.7, 3.12). Luận án cũng chỉ ra rằng các chặn này có thể đạt được dấu bằng đối với nhiều lớp iđêan (Ví dụ 3.13) và áp dụng cho iđêan cạnh của đồ thị G (Định lý 3.18).
Bài toán thứ ba tập trung vào việc tìm chặn trên cho các hệ số b và chỉ số ổn định reg-stab(I). Nghiên cứu trước đây cho thấy các giá trị này có thể rất lớn trong trường hợp tổng quát. Luận án sử dụng các kỹ thuật đã phát triển để cải thiện chặn trên cho chỉ số ổn định reg-stab(J(G)) của iđêan phủ của các đồ thị hai phần (Định lý 4.6), một lớp đồ thị mà lũy thừa thường và lũy thừa hình thức trùng nhau.
Các kết quả chính của luận án được trình bày trong bốn chương, bao gồm các kiến thức chuẩn bị về chỉ số chính quy, phức đơn hình, iđêan Stanley-Reisner, lý thuyết đồ thị và đa diện lồi. Luận án đóng góp vào việc làm rõ dáng điệu tiệm cận và tính ổn định của chỉ số chính quy của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức, sử dụng các công cụ đại số và tổ hợp.
Mở đầu
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
1.1. Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford
1.2. Phức đơn hình và iđêan Stanley-Reisner
1.3. Công thức Hochster - Công thức Takayama
1.3.1. Công thức Hochster
1.3.2. Công thức Takayama
1.4. Lý thuyết đồ thị
1.5. Đa diện lồi
1.5.1. Tập lồi đa diện
1.5.2. Phức bậc và đa diện
1.5.3. Đa diện hình thức
Chương 2: Dáng điệu tiệm cận của hàm chỉ số chính quy
2.1. Hàm bậc sinh lớn nhất
2.2. Hàm chỉ số chính quy
2.3. Tính không tuyến tính của hàm chỉ số chính quy của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức
Chương 3: Chặn trên của hàm chỉ số chính quy
3.1. Iđêan đơn thức không chứa bình phương
3.2. Iđêan cạnh của đồ thị G
Chương 4: Tính ổn định của hàm chỉ số chính quy
4.1. Đa diện nguyên ứng với đồ thị hai phần
4.2. Chỉ số chính quy của lũy thừa của iđêan phủ
KẾT LUẬN
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
Tài liệu tham khảo
CÁC KẾT QUẢ TRONG LUẬN ÁN ĐÃ ĐƯỢC BÁO CÁO VÀ THẢO LUẬN TẠI