Luận án Tính chất định tính của nghiệm một số lớp các phương trình có trễ và trung tính.

Tên luận án:

TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA NGHIỆM MỘT SỐ LỚP CÁC PHƯƠNG TRÌNH CÓ TRỄ VÀ TRUNG TÍNH

Ngành:

Toán học

Tóm tắt nội dung tài liệu:

Luận án này tập trung nghiên cứu tính chất định tính của nghiệm một số lớp các phương trình có trễ và trung tính, cụ thể là sự tồn tại của các đa tạp tích phân bao gồm đa tạp ổn định, đa tạp không ổn định và đa tạp tâm. Đây là một vấn đề cốt yếu trong nghiên cứu phương trình vi phân, cung cấp bức tranh hình học về dáng điệu tiệm cận nghiệm. Hướng nghiên cứu về đa tạp bất biến chấp nhận được, được N.T.Huy giới thiệu năm 2009, vẫn còn nhiều vấn đề cần giải quyết, đặc biệt đối với phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính.

Mục đích của luận án là nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhận được cho nghiệm của ba lớp phương trình tiến hóa (0.1), (0.2) và (0.3). Các phương trình này được xét dưới điều kiện phần tuyến tính sinh ra họ tiến hóa có nhị phân mũ hoặc tam phân mũ, và phần phi tuyến là φ-Lipschitz, với trễ hữu hạn hoặc vô hạn. Đối tượng nghiên cứu chính là các đa tạp bất biến chấp nhận được này trong không gian hàm chấp nhận được. Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là phương pháp Lyapunov-Perron cho sự tồn tại đa tạp, cùng với lý thuyết nửa nhóm và điều kiện φ-Lipschitz cho các đánh giá tuyến tính và phi tuyến.

Luận án đã đạt được các kết quả chính sau: (1) Thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến E-lớp, đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp và đa tạp không ổn định bất biến E-lớp cùng tính hút đối với nghiệm của phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính với trễ hữu hạn có dạng (2.1). (2) Thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến E-lớp và đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp đối với nghiệm của phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính với trễ hữu hạn có dạng (3.1). (3) Thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến E-lớp và đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp đối với nghiệm của phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính với trễ vô hạn có dạng (4.1).

Các kết quả này mở rộng một phần các công trình nghiên cứu trước đó về dạng phương trình và loại đa tạp, đặc biệt là các kết quả của Huy-Khánh (2017) và Huy-Bằng (2015, 2017). Luận án được cấu trúc thành bốn chương, bao gồm kiến thức chuẩn bị và ba chương chuyên sâu cho từng lớp phương trình được nghiên cứu.

Mục lục chi tiết:

• Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.

  • Khái niệm không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa trục R+ hoặc cả trục R.
  • Khái niệm nửa nhóm liên tục mạnh và một số tính chất của nó.
  • Khái niệm về họ tiến hóa, nhị phân mũ và tam phân mũ của họ tiến hóa.

• Chương 2. Đa tạp tích phân chấp nhận được đối với phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính.

  • Chứng minh sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến E-lớp, đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp và đa tạp không ổn định bất biến E-lớp đối với nghiệm phương trình Fut = B(t)Fut + P(t, ut), t ∈ I.

• Chương 3. Đa tạp bất biến chấp nhận được đối với phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính trên nửa trục.

  • Chứng minh sự tồn tại của nghiệm, đa tạp ổn định bất biến E-lớp, đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp đối với nghiệm phương trình Fut = B(t)u(t) + P(t, ut), t ∈ (0,∞).

• Chương 4. Đa tạp bất biến chấp nhận được đối với phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính với trễ vô hạn.

  • Chứng minh sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến E-lớp, đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp đối với nghiệm phương trình Fut = B(t)Fut + P(t, ut) t ∈ R+, với trễ vô hạn.