Luận án Sự tồn tại và một số tính chất của nghiệm đối với bài toán Elliptic suy biến

Tên luận án:

SỰ TỒN TẠI VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM ĐỐI VỚI BÀI TOÁN ELLIPTIC SUY BIẾN

Ngành:

Toán Giải tích

Tóm tắt nội dung tài liệu:

Luận án này tập trung nghiên cứu sâu rộng về các phương trình và hệ phương trình elliptic suy biến, một lĩnh vực trọng tâm của toán học hiện đại với nhiều ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật. Phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt là phương trình elliptic, đóng vai trò nền tảng trong việc mô hình hóa các hiện tượng cân bằng hoặc không phụ thuộc vào thời gian. Tuy nhiên, nhiều lớp phương trình elliptic phi tuyến quan trọng xuất phát từ các bài toán hình học vi phân, đòi hỏi những công cụ giải tích tiên tiến.

Trong luận án, tác giả đã hệ thống hóa các kết quả nghiên cứu trước đây về sự tồn tại, không tồn tại, dáng điệu tiệm cận và tính đa nghiệm của các bài toán biên cho phương trình elliptic suy biến, parabolic suy biến và hyperbolic suy biến. Từ đó, luận án xác định các vấn đề mở và tập trung giải quyết chúng. Các mục tiêu chính bao gồm nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu, không tồn tại nghiệm yếu, tính đa nghiệm yếu và một số tính chất của nghiệm yếu đối với phương trình elliptic suy biến và hệ phương trình elliptic suy biến trong miền bị chặn và toàn không gian.

Các kết quả chính đạt được bao gồm: Đối với phương trình elliptic suy biến nửa tuyến tính chứa toán tử Δγ, luận án đã chứng minh được tính đa nghiệm của bài toán, với các nghiệm là âm và dần hội tụ về 0 (Định lí 2.1). Đối với phương trình elliptic suy biến nửa tuyến tính chứa toán tử A^k1,k2_k3,k4, luận án đã xây dựng đồng nhất thức kiểu Pohozaev để chỉ ra các trường hợp hàm phi tuyến không có nghiệm không tầm thường, đồng thời chứng minh sự tồn tại nghiệm không tầm thường với một lớp hàm phi tuyến tổng quát (Định lý 3.2). Cuối cùng, đối với hệ phương trình elliptic suy biến chứa toán tử A^k1,k2_k3,k4, luận án đã chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu và tính đa nghiệm của hệ tương ứng với các lớp hàm phi tuyến H(., ., .), K(., ., .), và đánh giá nghiệm trong không gian Sobolev có trọng tương ứng (Định lý 4.1, 4.2, 4.3).

Các phương pháp nghiên cứu chủ yếu dựa trên lý thuyết giải tích toán học, giải tích hàm phi tuyến và lý thuyết không gian Sobolev, bao gồm các định lý về điểm tới hạn (Định lý qua đèo, Định lý biến dạng), định lý nhúng kiểu Sobolev có trọng và đồng nhất thức kiểu Pohozaev. Các kết quả này là mới, có ý nghĩa khoa học, góp phần hoàn thiện lý thuyết về phương trình và hệ phương trình elliptic suy biến, và đã được công bố trên 04 bài báo khoa học quốc tế.

Mục lục chi tiết:

• Mở đầu

  • 1. Lý do chọn đề tài và tổng quan nghiên cứu
  • 2. Mục đích nghiên cứu
  • 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
  • 4. Phương pháp nghiên cứu và công cụ nghiên cứu
  • 5. Các kết quả đạt được và ý nghĩa của đề tài
  • 6. Cấu trúc luận án

• Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

  • 1.1. Toán tử elliptic suy biến
  • 1.2. Không gian Sobolev có trọng và định lý nhúng
  • 1.3. Một số kết quả của lý thuyết điểm tới hạn
  • 1.4. Một số không gian hàm và tính chất

• Chương 2. Tính đa nghiệm của phương trình elliptic suy biến nửa tuyến tính

  • 2.1. Đặt bài toán
  • 2.2. Tính đa nghiệm của phương trình elliptic suy biến nửa tuyến tính

• Chương 3. Sự tồn tại và không tồn tại nghiệm bài toán biên elliptic suy biến

  • 3.1. Sự không tồn tại nghiệm không tầm thường
  • 3.2. Sự tồn tại nghiệm yếu không tầm thường

• Chương 4. Sự tồn tại và tính chất nghiệm của hệ phương trình elliptic suy biến

  • 4.1. Sự tồn tại nghiệm và tính đa nghiệm của hệ phương trình elliptic suy biến với hàm phi tuyến có tăng trưởng tới hạn
  • 4.2. Sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình elliptic suy biến với hàm phi tuyến tăng trưởng dưới tới hạn

• KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

  • 1. Những kết quả đạt được
  • 2. Đề xuất một số hướng nghiên cứu tiếp theo

• Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án