SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM HỮU TỶ VÀ CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC
Toán giải tích
Luận án này tập trung nghiên cứu sự hội tụ của dãy hàm hữu tỷ và chuỗi lũy thừa hình thức, một lĩnh vực quan trọng trong giải tích phức hiện đại với nhiều ứng dụng thực tế. Đề tài này giải quyết các vấn đề liên quan đến tính hội tụ của dãy hàm, đặc biệt là các trường hợp không bị chặn đều, dựa trên những thành tựu gần đây của các nhà toán học trong lý thuyết đa thế vị.
Mục tiêu chính của luận án bao gồm việc nghiên cứu Định lý hội tụ kiểu Vitali đối với các dãy hàm chỉnh hình không bị chặn đều, khảo sát sự hội tụ nhanh của dãy hàm hữu tỷ mà chỉ cần xét trên biên, và phân tích sự hội tụ của chuỗi lũy thừa hình thức cũng như dãy các hàm hữu tỷ trong không gian C^n.
Đối tượng nghiên cứu là các tính chất và kết quả cơ bản về sự hội tụ của hàm chỉnh hình, hàm hữu tỷ, hàm đa điều hòa dưới, cùng với các tính chất và điều kiện hội tụ của chuỗi lũy thừa hình thức. Phương pháp nghiên cứu chủ yếu dựa trên lý thuyết toán học cơ bản, sử dụng các công cụ và kỹ thuật truyền thống của Giải tích hàm và Giải tích phức, kết hợp với các hoạt động seminar và trao đổi khoa học.
Những đóng góp chính của luận án là: 1. Chứng minh một dạng Định lý hội tụ Vitali cho dãy hàm hữu tỷ với điều kiện về cực điểm (Định lý 2.2.4). 2. Đưa ra một dạng mở rộng của Định lý Bloom (Định lý 2.2.6), xem xét sự hội tụ của dãy hàm hữu tỷ trên biên của một miền bị chặn. 3. Cung cấp ví dụ minh họa cho Định lý 2.2.6. 4. Thiết lập điều kiện cho sự hội tụ của chuỗi lũy thừa hình thức trong C^n (Định lý 3.2.2), cho thấy sự hội tụ trên các đường thẳng qua gốc có thể dẫn đến sự hội tụ trên một lân cận. 5. Tổng quát hóa Định lý 2.1 bằng cách thay thế sự hội tụ nhanh bằng sự hội tụ điểm với một dãy trọng chấp nhận được (Định lý 4.2.1).
Các kết quả này góp phần hoàn thiện lý thuyết về sự hội tụ của hàm chỉnh hình, hàm đa điều hòa dưới và hàm hữu tỷ trong Giải tích phức, đồng thời làm đa dạng hóa các công cụ và kỹ thuật nghiên cứu chuyên ngành. Luận án cũng đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo để mở rộng các khái niệm và kết quả đã đạt được.