NGHIỆM TUẦN HOÀN VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Phương trình vi phân và tích phân
Luận án này tập trung nghiên cứu về nghiệm tuần hoàn và dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình vi phân, đặc biệt là các phương trình tiến hóa tuyến tính và nửa tuyến tính, bao gồm cả các phương trình vi phân hàm có trễ hữu hạn và vô hạn. Mục tiêu chính của nghiên cứu là thiết lập các điều kiện đủ cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm tuần hoàn, đồng thời khảo sát các tính chất định tính của nghiệm xung quanh nghiệm tuần hoàn và xây dựng các đa tạp ổn định địa phương.
Trong phần Mở đầu, luận án chỉ ra những hạn chế của các phương pháp truyền thống trong việc tìm nghiệm tuần hoàn cho phương trình vi phân trong các miền không bị chặn hoặc khi nghiệm không bị chặn. Để giải quyết vấn đề này, luận án áp dụng phương pháp Ergodic, được mở rộng từ công trình của Zubelevich, kết hợp với nguyên lý ánh xạ co, bất đẳng thức Gronwall và bất đẳng thức nón. Phương pháp này giúp liên kết sự tồn tại của nghiệm bị chặn với nghiệm tuần hoàn, từ đó mở rộng các kết quả từ phương trình tuyến tính sang phương trình nửa tuyến tính.
Luận án được cấu trúc thành bốn chương. Chương 1 cung cấp các kiến thức nền tảng về nửa nhóm liên tục mạnh, họ tiến hóa, không gian hàm Banach chấp nhận được, và nhị phân mũ của họ tiến hóa. Chương 2 đi sâu vào sự tồn tại duy nhất và ổn định có điều kiện của nghiệm tuần hoàn cho phương trình tiến hóa tuyến tính không thuần nhất và phương trình tiến hóa nửa tuyến tính, đặc biệt khi họ tiến hóa có nhị phân mũ. Chương 3 tiếp tục nghiên cứu phương trình tiến hóa nửa tuyến tính với phần phi tuyến thỏa mãn điều kiện φ-Lipschitz địa phương, chứng minh sự tồn tại, duy nhất, ổn định có điều kiện của nghiệm tuần hoàn và sự tồn tại đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn. Cuối cùng, Chương 4 mở rộng các kết quả sang phương trình vi phân hàm có trễ hữu hạn và vô hạn với phần phi tuyến φ-Lipschitz địa phương, cũng như chứng minh tính ổn định có điều kiện và sự tồn tại đa tạp bất biến ổn định địa phương cho các phương trình này.
Những đóng góp chính của luận án là việc thiết lập các điều kiện đủ cho sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn của các lớp phương trình vi phân và vi phân hàm đã nêu, cùng với việc chứng minh sự tồn tại đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn. Các kết quả này làm phong phú thêm lý thuyết phương trình vi phân và đạo hàm riêng, đồng thời cung cấp cơ sở cho các nghiên cứu tiếp theo về dáng điệu tiệm cận của nghiệm.