Luận án Một vài tính chất của ánh xạ đa thức với đa diện Newton không suy biến.

Tên luận án:

SOME PROPERTIES OF POLYNOMIAL MAPS IN TERMS OF NEWTON POLYHEDRONS

Ngành:

Phân tích Toán học

Tóm tắt nội dung tài liệu:

Luận án "SOME PROPERTIES OF POLYNOMIAL MAPS IN TERMS OF NEWTON POLYHEDRONS" tập trung khám phá các tính chất của ánh xạ đa thức, đặc biệt liên quan đến các đơn trị (monodromies) và tính compact của các tập đại số. Sử dụng các công cụ từ Lý thuyết Kì dị (Singularity Theory) và Hình học Bán đại số (Semi-algebraic Geometry, nghiên cứu giải quyết các hàm thỏa mãn điều kiện không suy biến, một khái niệm có nguồn gốc từ các ứng dụng của đa diện Newton trong nhiều nhánh toán học như Hình học Đại số và Tô pô học.

Một mục tiêu chính của luận án là nghiên cứu chi tiết đơn trị toàn cục của các hàm đa thức phức khi bị giới hạn trên một tập đại số không kì dị. Lấy cảm hứng từ các công trình trước đây, luận án điều tra tính ổn định của các đơn trị này cho các lớp hàm đa thức phức dưới điều kiện không suy biến. Cụ thể, nghiên cứu chỉ ra rằng nếu một họ đa thức có các đa diện Newton tại vô cực không phụ thuộc vào tham số t và thỏa mãn điều kiện không suy biến Newton tại vô cực, thì các đơn trị toàn cục của chúng đều đẳng cấu (Xem Định lý 2.5).

Ngoài ra, luận án còn giải quyết vấn đề tính compact và tính compact ổn định của các tập đại số thực. Đối với một tập đại số Z(f) được định nghĩa bởi một hàm đa thức thực không hằng, nghiên cứu đưa ra các điều kiện cần và đủ cho tính compact của nó. Dựa trên những phát hiện này, luận án xây dựng các tiêu chí cần và đủ toàn diện cho tính compact ổn định của Z(f), đặc trưng hóa các điều kiện này thông qua đa diện Newton của đa thức f (Xem Định lý 3.1, Định lý 3.3 và Định lý 3.5). Công trình được cấu trúc rõ ràng, với Chương 1 giới thiệu các khái niệm cơ bản, Chương 2 đi sâu vào các tập phân nhánh và đơn trị toàn cục, và Chương 3 thiết lập các tiêu chí compact.

Mục lục chi tiết:

• Declaration of Authorship
• Introduction
• 1 Preliminaries
  • 1.1 Semi-algebraic Geometry
    • 1.1.1 Semi-algebraic sets and maps
    • 1.1.2 The Tarski-Seidenberg theorem
    • 1.1.3 Other results of Semi-algebraic Geometry
  • 1.2 Newton polyhedron and non-degeneracy condition at infinity
  • 1.3 Bertini-Sard theorem
• 2 Bifurcation Sets and Global Monodromies of Newton Non-degenerate Polynomials on Algebraic Sets
  • 2.1 The bifurcation set of a polynomial function
  • 2.2 The stability of global monodromies
• 3 Compactness criteria for real algebraic set and Newton polyhedron
  • 3.1 The compactness of an algebraic set.
  • 3.2 The stability of compactness of an algebraic set.
• Conclusions
• List of Author's Related Papers
• References