Tên luận án:
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG
Ngành:
Toán ứng dụng
Tóm tắt nội dung tài liệu:
Luận án này tập trung nghiên cứu các bài toán chấp nhận lồi, vốn có vai trò quan trọng trong toán học và ứng dụng. Đặc biệt, luận án giải quyết bài toán tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động, một lớp bài toán chấp nhận lồi khi các tập nghiệm là lồi. Nhằm nâng cao hiệu quả và mở rộng phạm vi ứng dụng của các phương pháp giải, tác giả đã cải tiến các phương pháp hiện có và xây dựng các thuật toán mới bằng cách giảm nhẹ các điều kiện đặt lên bài toán cân bằng hoặc/và bài toán điểm bất động.
Nội dung luận án được xây dựng dựa trên kết quả nghiên cứu của tác giả, đã được đăng hoặc gửi tới các tạp chí khoa học chuyên ngành. Các đóng góp chính bao gồm:
- Mở rộng khái niệm ánh xạ gần kề của một hàm lồi cho ánh xạ đa trị, nghiên cứu các tính chất của nó và áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị và bài toán cân bằng.
- Phát triển ba thuật toán mới kết hợp phương pháp lặp Ishikawa với phương pháp điểm gần kề và phương pháp extragradient (có hoặc không có tìm kiếm theo tia) để tìm nghiệm chung của bài toán điểm bất động của ánh xạ lai ghép đối xứng tổng quát và bài toán cân bằng, đặc biệt khi song hàm f(x,y) lồi theo biến thứ hai.
- Xây dựng một thuật toán tìm nghiệm chung cho bài toán điểm bất động của ánh xạ tiệm cận không giãn và bài toán cân bằng với song hàm f(x,·) tựa lồi theo biến thứ hai, sử dụng kết hợp phương pháp lặp Ishikawa và phương pháp chiếu.
- Nghiên cứu một biến thể của mô hình cân bằng cung-cầu Walras và đề xuất thuật toán giải quyết bài toán này, trong đó cung và cầu được cho dưới dạng ẩn như là nghiệm của các bài toán tối ưu.
Luận án được cấu trúc gồm bốn chương chính. Chương 1 trình bày các ký hiệu và khái niệm cơ bản. Chương 2 đi sâu vào ánh xạ gần kề cho bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị. Chương 3 đề xuất các thuật toán mới để tìm nghiệm chung. Cuối cùng, Chương 4 áp dụng các kết quả vào mô hình cân bằng cung-cầu Walras trong không gian Rn. Các nghiên cứu này góp phần vào việc giải quyết hiệu quả các bài toán phức tạp trong toán ứng dụng và kinh tế.
Mục lục chi tiết:
- Mở đầu 1
- 1 Kiến thức chuẩn bị 4
- 2 Ánh xạ gần kề cho bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị 6
- 2.1 Mở đầu 6
- 2.2 Tính chất không giãn suy rộng của ánh xạ gần kề cho ánh xạ đa trị 7
- 2.3 Ứng dụng vào song hàm 8
- 3 Thuật toán tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động 10
- 3.1 Thuật toán khi song hàm f(x,·) lồi theo biến thứ hai 11
- 3.1.1 Thuật toán 3.1 và định lý hội tụ 11
- 3.1.2 Thuật toán 3.2 và định lý hội tụ 12
- 3.1.3 Thuật toán 3.3 và định lý hội tụ 13
- 3.2 Thuật toán khi song hàm f(x,·) tựa lồi theo biến thứ hai 14
- 3.2.1 Thuật toán 3.4 và định lý hội tụ 15
- 3.3 Ví dụ tính toán 16
- 3.3.1 Trường hợp song hàm f(x,.) lồi theo biến thứ hai 16
- 3.3.2 Trường hợp song hàm f(x,) tựa lồi theo biến thứ hai 16
- 3.3.3 Trường hợp H là không gian vô hạn chiều 17
- 4 Áp dụng vào mô hình cân bằng cung-cầu Walras trong Rn 18
- 4.1 Mô hình cân bằng cung-cầu Walras 18
- 4.1.1 Mô hình 18
- 4.1.2 Công thức điểm bất động của mô hình 20
- 4.2 Thuật toán hiệu chỉnh và định lý hội tụ 20
- 4.3 Ví dụ tính toán 21
- Kết quả đạt được 22
- Hướng nghiên cứu tiếp theo 23
- Danh mục công trình khoa học của tác giả có liên quan đến luận án 24