Luận án Một số lớp phương trình trong không gian Banach có thứ tự

Tên luận án:

MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ

Ngành:

Toán Giải Tích

Tóm tắt nội dung tài liệu:

Luận án nghiên cứu về một số lớp phương trình trong không gian Banach có thứ tự, tiếp nối lý thuyết được hình thành từ những năm 1940 và phát triển mạnh mẽ bởi các nhà toán học như M.G.Krein, M.A.Rutman, M.A.Krasnoselskii cùng các học trò. Nghiên cứu tập trung vào hai hướng chính: sử dụng chuẩn nón và độ đo phi compact với giá trị trong nón, và phương trình đa trị chứa tham số trong không gian có thứ tự.

Ở hướng thứ nhất, luận án trình bày các định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii cho tổng hai toán tử trong không gian với chuẩn nón, áp dụng cho các trường hợp chuẩn nhận giá trị trong không gian Banach hoặc không gian lồi địa phương. Các kết quả này được ứng dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm trên khoảng [0, ∞) cho bài toán Cauchy trong thang các không gian Banach với kì dị yếu. Luận án cũng đưa ra các điều kiện để ánh xạ là cô đặc theo một độ đo phi compact với giá trị trong nón và áp dụng vào một phương trình vi phân có chậm. Các kết quả chính từ hướng nghiên cứu này đã được công bố trên tạp chí Fixed Point Theory, số 2(2016).

Ở hướng thứ hai, luận án mở rộng các nghiên cứu về phương trình đơn trị sang phương trình đa trị chứa tham số trong không gian có thứ tự. Cụ thể, luận án chứng minh tính liên tục theo nghĩa Krasnoselskii của tập nghiệm của phương trình đa trị có chặn dưới đơn điệu và xác định khoảng giá trị tham số để phương trình có nghiệm. Các kết quả này được ứng dụng vào bài toán biên phụ thuộc hàm điều khiển đa trị và bài toán giá trị riêng, véctơ riêng dương cho ánh xạ đa trị tăng, thuần nhất dương. Luận án cũng mở rộng các khái niệm uo-dương, uo-tăng, dương mạnh cho ánh xạ đa trị và chứng minh một số tính chất Krein-Rutman về giá trị riêng, véctơ riêng dương của ánh xạ tăng trong không gian có thứ tự, bao gồm tính bội đơn và sự duy nhất.

Mục lục chi tiết:

• 1 PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHÔNG GIAN VỚI K-CHUẨN

  • 1.1 Không gian với thứ tự sinh bởi nón, không gian với K-chuẩn.
  • 1.2 Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không gian với K-chuẩn nhận giá trị trong không gian Banach.
  • 1.3 Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không gian với K-chuẩn nhận giá trị trong không gian lồi địa phương.
    • 1.3.1 Trường hợp không gian lồi địa phương xác định bởi họ nửa chuẩn.
    • 1.3.2 Trường hợp không gian lồi địa phương xác định bởi cơ sở lân cận gốc.
  • 1.4 Ứng dụng vào bài toán Cauchy trong thang không gian Banach.
    • 1.4.1 Trường hợp bài toán không nhiễu.
    • 1.4.2 Trường hợp bài toán có nhiễu.

• 2 ÁNH XẠ CÔ ĐẶC THEO ĐỘ ĐO PHI COMPACT VỚI GIÁ TRỊ TRONG NÓN

  • 2.1 Độ đo phi compact, ánh xạ cô đặc và định lý điểm bất động.
    • 2.1.1 Độ đo phi compact nhận giá trị trong nón.
    • 2.1.2 Ánh xạ cô đặc theo một độ đo và định lý điểm bất động.
  • 2.2 Ứng dụng vào phương trình vi phân có chậm trong không gian Banach.

• 3 PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ CHỨA THAM SỐ TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ

  • 3.1 Bậc tôpô tương đối của lớp ánh xạ đa trị cô đặc.
    • 3.1.1 Tính nửa liên tục và compact của ánh xạ đa trị.
    • 3.1.2 Bậc tôpô tương đối.
    • 3.1.3 Tính bậc tôpô tương đối cho một số lớp ánh xạ và ứng dụng vào bài toán điểm bất động.
  • 3.2 Phương trình với ánh xạ đa trị chứa tham số có chặn dưới đơn điệu.
    • 3.2.1 Tính liên tục của tập nghiệm dương của phương trình.
    • 3.2.2 Khoảng giá trị tham số cho phương trình có nghiệm.
    • 3.2.3 Ứng dụng vào một dạng bài toán điều khiển.
  • 3.3 Bài toán giá trị riêng, véc tơ riêng dương.
    • 3.3.1 Sự tồn tại véctơ riêng và giá trị riêng dương.
    • 3.3.2 Một số tính chất Krein-Rutman của giá trị riêng dương, véc tơ riêng.