MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES-VOIGT
Phương trình vi phân và tích phân
Luận án này tập trung nghiên cứu một số bài toán điều khiển tối ưu (ĐKTT) đối với hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt (NSV) trong không gian ba chiều. Hệ NSV, được giới thiệu bởi Oskolkov (1973) và đề xuất bởi Cao, Lunasin, Titi (2006) như một xấp xỉ cho hệ Navier-Stokes ba chiều, mô tả chuyển động của chất lỏng nhớt lí tưởng đàn hồi và có ưu điểm không cần bổ sung điều kiện biên để đảm bảo tính đặt đúng. Mặc dù lý thuyết ĐKTT đã phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng, bài toán ĐKTT cho hệ NSV vẫn chưa được nghiên cứu sâu rộng.
Mục đích chính của luận án là giải quyết ba loại bài toán ĐKTT cụ thể. Thứ nhất là bài toán điều khiển tối ưu trong miền (P1), trong đó phiếm hàm mục tiêu có dạng toàn phương và biến điều khiển thuộc một tập lồi, đóng, khác rỗng. Thứ hai là bài toán điều khiển tối ưu thời gian (P2), nơi tập các điều khiển chấp nhận được cũng là một tập lồi, đóng, khác rỗng. Cuối cùng là bài toán điều khiển tối ưu trên biên (P3), với phiếm hàm mục tiêu toàn phương và biến điều khiển cần thỏa mãn các điều kiện tương thích.
Đối với mỗi bài toán này, luận án chứng minh sự tồn tại nghiệm tối ưu. Đồng thời, luận án thiết lập các điều kiện cần tối ưu cấp một và các điều kiện đủ tối ưu cấp hai, góp phần làm sáng tỏ cấu trúc của các bài toán ĐKTT cho hệ NSV. Các kết quả này được trình bày chi tiết trong bốn chương của luận án. Chương 1 cung cấp kiến thức chuẩn bị và các kết quả phụ. Chương 2, 3 và 4 lần lượt trình bày các kết quả về bài toán ĐKTT trong miền, ĐKTT thời gian và ĐKTT trên biên.
Các đóng góp của luận án làm phong phú thêm các nghiên cứu về hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt và lý thuyết điều khiển tối ưu cho phương trình đạo hàm riêng trong cơ học chất lỏng. Luận án cũng đề xuất một số hướng nghiên cứu tiếp theo như xấp xỉ số, điều khiển "bang-bang" và điều khiển độ đo cho các bài toán đã xét.