Luận án Các hệ số Hilbert trong vành Cohen-Macaulay và một số lớp mở rộng

Tên luận án:

CÁC HỆ SỐ HILBERT TRONG VÀNH COHEN-MACAULAY VÀ MỘT SỐ LỚP MỞ RỘNG (HILBERT COEFFICIENTS IN COHEN-MACAULAY RINGS AND SOME EXTENDED CLASSES)

Ngành:

Đại số và Lý thuyết số

Tóm tắt nội dung tài liệu:

Luận án này nghiên cứu cấu trúc đại số của vành cục bộ Noether (R, m) có chiều d, tập trung vào các hệ số Hilbert của R đối với các iđêan m-sơ cấp nhất định. Luận án khảo sát mối liên hệ giữa các hệ số Hilbert của R với các bất biến khác như chỉ số khả quy và kiểu Cohen-Macaulay. Mục tiêu chính là nghiên cứu hành vi của các hệ số Hilbert e_i(q : m) (với i = 0, ..., d) và mối quan hệ của chúng với các bất biến khác của R, trong đó q là một iđêan tham số của R.

Cụ thể, luận án đặc trưng hóa tính Cohen-Macaulay tuần tự của R thông qua các hệ số Hilbert e_i(q : m) và e_i(q). Nghiên cứu cũng cung cấp đặc trưng hóa vành Cohen-Macaulay R dựa trên mối quan hệ giữa các sinh phần sg(q : m), sg(q), các hệ số Hilbert e₂(q), e₂(q : m), chỉ số khả quy irr(q), và kiểu Cohen-Macaulay r(R) trong trường hợp R là vành không trộn. Thêm vào đó, luận án đặc trưng hóa tính Gorenstein và quasi-Buchsbaum thông qua các sinh phần sg(q : m). Luận án cũng mô tả các vành cục bộ Noether R theo các tập hợp hệ số Hilbert e_i(q : m) (với i = 0, ..., d) và đặc trưng hóa tính Cohen-Macaulay tổng quát của R dựa trên tính bị chặn của các hệ số Hilbert này, với điều kiện R không chính quy.

Luận án được tổ chức thành bốn chương. Chương 1 trình bày các kiến thức nền tảng về hệ số Hilbert, chỉ số khả quy và lọc chiều. Chương 2 khám phá mối quan hệ giữa chỉ số khả quy và hệ số Hilbert trong các vành cục bộ, đưa ra các đặc trưng cho vành Cohen-Macaulay tuần tự, Gorenstein và Cohen-Macaulay thông qua các hệ số Chern. Chương 3 điều tra hành vi của các sinh phần sg(q, R) và sg(q: m, R) đối với các iđêan tham số C, đồng thời thiết lập các đặc trưng cho tính Cohen-Macaulay, Gorenstein và quasi-Buchsbaum. Chương 4 tập trung vào hành vi của các hệ số Hilbert e_i(q: m), đặc biệt là các hệ số Chern, và đặc trưng hóa tính Gorenstein, Cohen-Macaulay và Cohen-Macaulay tổng quát của R dựa trên các hệ số này, cũng như phân tích tính hữu hạn của các tập hợp số Chern.

Mục lục chi tiết:

• Introduction

• Chapter 1 Preliminaries

  • 1.1 Hilbert coefficients
  • 1.2 Dimension filtrations and distinguished parameter ideals
  • 1.3 Indices of reducibility

• Chapter 2 On Hilbert coefficients and sequentially Cohen-Macaulay rings

  • 2.1 Indices of reducibility of powers of distinguished parameter ideals
  • 2.2 Hilbert coefficients of socle ideals
  • 2.3 Characterizations of sequentially Cohen-Macaulay rings

• Chapter 3 On sectional genera and Cohen-Macaulay rings

  • 3.1 C-system of parameters
  • 3.2 Bounds for sectional genera
  • 3.3 On sectional genera and second Hilbert coefficients

• Chapter 4 On sets of Chern numbers in local rings

  • 4.1 Characterizations of Cohen-Macaulay rings
  • 4.2 Finiteness of sets of Chern numbers

• List of author's related publications

• The results of this dissertation have been presented at

• References