Luận án Đối đạo hàm của ánh xạ nón pháp tuyến và ứng dụng

Tên luận án:

CODERIVATIVES OF NORMAL CONE MAPPINGS AND APPLICATIONS

Ngành:

Toán học ứng dụng (Mã ngành: 62 46 01 12)

Tóm tắt nội dung tài liệu:

Luận án này giải quyết các thách thức trong việc giải quyết các bài toán tối ưu hóa mà phép tính vi phân cổ điển không đủ khả năng xử lý do sự xuất hiện của các hàm không khả vi, các tập hợp có biên không trơn và các ánh xạ đa trị. Nghiên cứu dựa trên các lý thuyết vi phân tổng quát, đặc biệt là so sánh lý thuyết của Clarke với lý thuyết của Mordukhovich. Trong khi lý thuyết của Clarke thanh lịch, các khái niệm về dưới vi phân và nón pháp tuyến thường quá lớn, dẫn đến các điều kiện tối ưu không đủ chặt chẽ.

Trọng tâm của nghiên cứu là lý thuyết vi phân tổng quát của Mordukhovich, cung cấp các nón pháp tuyến giới hạn và dưới vi phân thường không lồi và nhỏ hơn, từ đó đưa ra các điều kiện tối ưu chặt chẽ hơn và cả điều kiện cần và đủ cho tính ổn định trong phân tích biến phân. Phân tích biến phân được xác định là một lĩnh vực hợp nhất phân tích không trơn, phân tích đa trị, lý thuyết tối ưu hóa và các bài toán cân bằng.

Luận án tập trung vào việc tính toán hoặc ước lượng các đạo hàm cấp một (Fréchet coderivative) và đạo hàm cấp một giới hạn (Mordukhovich coderivative) của các ánh xạ nón pháp tuyến trong các bối cảnh khác nhau, bao gồm: các tập đa diện lồi bị nhiễu tuyến tính trong không gian Banach phản xạ hữu hạn và vô hạn chiều; các tập đa diện lồi bị nhiễu phi tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều; và các quả cầu Euclidean bị nhiễu. Các ứng dụng của những kết quả này được sử dụng để nghiên cứu tính chất chính quy metric và tính chất giống Lipschitz của các ánh xạ nghiệm cho các bất đẳng thức biến phân affine tham số và các phương trình tổng quát tuyến tính. Một đóng góp quan trọng của luận án là giải quyết bốn câu hỏi mở đã được Yao và Yen (2009a) và Lee và Yen (2014) đặt ra.

Mục lục chi tiết:

• Chapter 1 Preliminary

  • 1.1 Normal and Tangent Cones
  • 1.2 Coderivatives and Subdifferential
  • 1.3 Lipschitzian Properties and Metric Regularity

• Chapter 2 Linear Perturbations of Polyhedral Normal Cone Mappings

  • 2.1 The Normal Cone Mapping F(x, b)
  • 2.2 The Fréchet Coderivative of F(x, b)
  • 2.3 The Mordukhovich Coderivative of F(x, b)
  • 2.4 AVIs under Linear Perturbations

• Chapter 3 Nonlinear Perturbations of Polyhedral Normal Cone Mappings

  • 3.1 The Normal Cone Mapping F(x, A, b)
  • 3.2 Estimation of the Fréchet Normal Cone to gphF
  • 3.3 Estimation of the Limiting Normal Cone to gphF
  • 3.4 AVIs under Nonlinear Perturbations

• Chapter 4 A Class of Linear Generalized Equations

  • 4.1 Linear Generalized Equations
  • 4.2 Formulas for Coderivatives
  • 4.3 Necessary and Sufficient Conditions for Stability

• General Conclusions

• References