Luận án Bất đẳng thức tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev – Fourier và ứng dụng

Tên luận án:

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG KONTOROVICH-LEBEDEV - FOURIER VÀ ỨNG DỤNG

Ngành:

Toán học (Chuyên ngành: Toán giải tích, Mã ngành: 62460102)

Tóm tắt nội dung tài liệu:

Luận án tiến sĩ này, với tiêu đề "BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG KONTOROVICH-LEBEDEV - FOURIER VÀ ỨNG DỤNG", thuộc chuyên ngành Toán giải tích, tập trung nghiên cứu các bất đẳng thức và biến đổi tích phân kiểu Tích chập suy rộng (TCSR) Kontorovich-Lebedev - Fourier. Mục tiêu chính là xây dựng và khảo sát các tính chất toán tử của một tích chập suy rộng mới đối với các biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev, Fourier sine và Fourier cosine. Các tính chất được nghiên cứu bao gồm sự tồn tại, tính bị chặn, đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức Parseval và định lý kiểu Titchmarsh. Luận án cũng thiết lập các điều kiện cần và đủ để biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng này là đẳng cấu và đẳng cự giữa các không gian hàm L2(R+) và L2(R+; x).

Nghiên cứu sâu hơn về lý thuyết, luận án xây dựng các bất đẳng thức kiểu Young, Saitoh và Saitoh ngược cho tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier trên các không gian Lp có trọng. Đồng thời, các bất đẳng thức tương tự cũng được phát triển cho tích chập Kontorovich-Lebedev. Những kết quả lý thuyết này được ứng dụng rộng rãi để giải quyết và đánh giá nghiệm của một số lớp phương trình vi-tích phân và phương trình đạo hàm riêng dạng parabolic.

Về mặt ứng dụng, luận án thiết lập các biểu diễn cho các đại lượng vật lý như trường nhiễu xạ sóng âm và thế Debye của trường nhiễu xạ sóng điện từ thông qua tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier. Từ đó, nghiên cứu các bài toán xác định hàm phổ, ước lượng giá trị biên độ, dáng điệu tiệm cận và tính bị chặn trên các không gian Lebesgue Lp. Các đóng góp của luận án làm phong phú thêm lý thuyết biến đổi tích phân, tích chập suy rộng và các phương trình liên quan, đồng thời mở ra các hướng ứng dụng mới trong vật lý.

Mục lục chi tiết:

• CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ
  • 1.1 Không gian Lebesgue Lp(Ω) và Lp(Ω; ρ)
  • 1.2 Biến đổi tích phân Fourier
  • 1.3 Biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev
• CHƯƠNG 2 BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TCSR KONTOROVICH-LEBEDEV - FOURIER
  • 2.1 TCSR Kontorovich-Lebedev - Fourier sine - Fourier cosine
    • 2.1.1 Định nghĩa
    • 2.1.2 Tính chất toán tử
    • 2.1.3 Tính không có ước của không
  • 2.2 Biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier
  • 2.3 Phương trình vi-tích phân liên quan TCSR
• CHƯƠNG 3 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG KONTOROVICH-LEBEDEV
  • 3.1 Bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier
    • 3.1.1 Bất đẳng thức kiểu Young
    • 3.1.2 Bất đẳng thức kiểu Saitoh
  • 3.2 Bất đẳng thức đối với tích chập Kontorovich-Lebedev
    • 3.2.1 Bất đẳng thức kiểu Young
    • 3.2.2 Bất đẳng thức kiểu Saitoh
    • 3.2.3 Bất đẳng thức kiểu Saitoh ngược
  • 3.3 Phương trình vi-tích phân liên quan toán tử Bessel
• CHƯƠNG 4 MỘT SỐ ỨNG DỤNG
  • 4.1 Trường nhiễu xạ sóng âm với trở kháng dạng nón
    • 4.1.1 Biểu diễn trường nhiễu xạ sóng âm theo TCSR
    • 4.1.2 Tính bị chặn của trường sóng âm trên các không gian Lp(R+), p ≥ 1
    • 4.1.3 Ước lượng tại lân cận đỉnh nón
  • 4.2 Thế Debye của nhiễu xạ sóng điện từ
    • 4.2.1 Xác định hàm phổ của thế Debye trường nhiễu xạ
    • 4.2.2 Biểu diễn thế Debye trường nhiễu xạ theo tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier
    • 4.2.3 Ước lượng địa phương
  • 4.3 Phương trình dạng parabolic
    • 4.3.1 Phương trình parabolic tuyến tính liên quan tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev
    • 4.3.2 Phương trình parabolic phi tuyến liên quan tích chập Kontorovich-Lebedev