Luận án Tính ổn định và ổn định vững của phương trình động lực tuyến tính trên thang thời gian

Tên luận án:

STABILITY AND ROBUST STABILITY OF LINEAR DYNAMIC EQUATIONS ON TIME SCALES

Ngành:

Phân tích Toán học (Mã: 9.46.01.02)

Tóm tắt nội dung tài liệu:

Luận án này nghiên cứu về tính ổn định và ổn định mạnh của các phương trình động lực tuyến tính trên thang thời gian, một lý thuyết được Stefan Hilger giới thiệu vào năm 1988 nhằm thống nhất các hệ liên tục và rời rạc. Nội dung luận án tập trung giải quyết ba vấn đề chính: số mũ Lyapunov, số mũ Bohl và bán kính ổn định của các phương trình động lực.

Về số mũ Lyapunov, luận án giới thiệu một định nghĩa mới phù hợp cho các hàm trên thang thời gian, sử dụng dao động của tỷ số thay vì hàm logarit truyền thống. Nghiên cứu đã xác định định nghĩa số mũ Lyapunov K₁[f(·)] của một hàm, điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại của nó, điều kiện đủ cho tính bị chặn của số mũ Lyapunov K₁[X(·)] (với x(·) là nghiệm không tầm thường), các điều kiện đủ về tính ổn định của phương trình động lực, và đặc biệt là điều kiện phổ cho tính ổn định hàm mũ của phương trình này.

Luận án cũng đề xuất khái niệm số mũ Bohl cho các phương trình động lực ngầm (IDEs) trên thang thời gian, Eo(t)x^ = A(t)x, và làm rõ mối quan hệ giữa tính ổn định hàm mũ và số mũ Bohl. Các kết quả bao gồm công thức nghiệm của IDEs tuyến tính thay đổi theo thời gian, tính ổn định mạnh của IDEs chịu nhiễu loạn Lipschitz, định lý ổn định kiểu Bohl-Perron cho các phương trình này, và tính mạnh của số mũ Bohl khi các phương trình chịu nhiễu loạn tác động lên các hệ số.

Cuối cùng, nghiên cứu xem xét tính ổn định mạnh của IDEs trên thang thời gian, đề xuất công thức bán kính ổn định. Luận án đã điều tra tính ổn định mạnh nói chung cho IDEs tuyến tính thay đổi theo thời gian trên thang thời gian, thu được các kết quả như công thức bán kính ổn định có cấu trúc và các cận dưới, mở rộng nhiều kết quả trước đây cho các phương trình vi phân, sai phân, vi phân-đại số và sai phân ngầm. Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 vào năm 2020.

Mục lục chi tiết:

• CHAPTER 1 PRELIMINARIES

  • 1.1 Time Scale and Calculations
    • 1.1.1 Definition and Example
    • 1.1.2 Differentiation
    • 1.1.3 Integration
    • 1.1.4 Regressivity
  • 1.2 Exponential Function
  • 1.3 Dynamic Inequalities
  • 1.4 Linear Dynamic Equation
  • 1.5 Stability of Dynamic Equation

• CHAPTER 2 LYAPUNOV EXPONENTS FOR DYNAMIC EQUATIONS

  • 2.1 Lyapunov Exponent: Definition and Properties
    • 2.1.1 Definition
    • 2.1.2 Properties
  • 2.2 Lyapunov Exponents of Solutions of Linear Equation
    • 2.2.1 Lyapunov Spectrum of Linear Equation
    • 2.2.2 Lyapunov Inequality
  • 2.3 Lyapunov Spectrum and Stability of Linear Equation

• CHAPTER 3 BOHL EXPONENTS FOR IMPLICIT DYNAMIC EQUATIONS

  • 3.1 Linear Implicit Dynamic Equations with index-1
  • 3.2 Stability of IDEs under non-Linear Perturbations
  • 3.3 Bohl Exponent for IDEs
    • 3.3.1 Bohl Exponent: Definition and Property
    • 3.3.2 Robustness of Bohl Exponent

• CHAPTER 4 STABILITY RADIUS FOR IMPLICIT DYNAMIC EQUATIONS

  • 4.1 Stability of IDEs under Causal Perturbations
  • 4.2 Stability Radius under Dynamic Perturbations
  • 4.3 Stability Radius under Structured Perturbations on Both Sides

• CONCLUSIONS

• LIST OF THE AUTHOR'S SCIENTIFIC WORKS