Đăng nhập để tải tài liệu không giới hạn
Tham gia 8.000+ người dùng Thư Viện Luận Án
Đang tải tài liệu...
MỘT SỐ BÀI TOÁN CAUCHY CHỨA KÌ DỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH
Toán Giải Tích (Mã số: 62 46 01 02)
Luận án này tập trung nghiên cứu một lớp các bài toán Cauchy chứa kì dị trên thang các không gian Banach. Cụ thể, bài toán có dạng u'(t) = f(t, u(t)), u(0) = u0, trong đó ánh xạ f tác động từ một không gian Banach vào các không gian rộng hơn, thể hiện tính kì dị. Khung lý thuyết này, vốn được các nhà toán học như Ovcyannikov và Yamanaka tiên phong sử dụng để mở rộng định lý Cauchy-Kowalevskaya, cho phép nghiên cứu các bài toán mà hàm f thỏa mãn điều kiện Lipschitz hoặc điều kiện cô đặc theo độ đo phi compact Kuratowski.
Trong luận án, các đóng góp chính được trình bày qua ba chương, sử dụng các phương pháp khác nhau. Chương đầu tiên tập trung vào việc sử dụng dãy lặp để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục cho hai lớp bài toán Cauchy có kì dị yếu: bài toán cấp 1 và bài toán bậc không nguyên trên thang các không gian Banach. Ngoài ra, luận án cũng xây dựng dãy lặp đơn điệu hội tụ về nghiệm cho một lớp bài toán Cauchy trên thang các không gian Banach có thứ tự.
Chương thứ hai khai thác Định lý ánh xạ co để nghiên cứu các bài toán Cauchy, đặc biệt là bài toán có chậm dạng u'(t) = f(t, u(t), u(h(t))), với hàm chậm h(t) < t^(1/p). Các kết quả cho thấy sự tồn tại nghiệm duy nhất địa phương khi f thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai và Hölder theo biến thứ ba. Đáng chú ý, khi f không phụ thuộc vào biến thứ hai, luận án chứng minh được sự tồn tại nghiệm duy nhất toàn cục ngay cả khi kì dị là mạnh. Việc áp dụng các kết quả tổng quát đã mở rộng đáng kể các điều kiện cho các phương trình đạo hàm riêng có chậm.
Chương cuối cùng sử dụng tính compact trong nghiên cứu bài toán. Luận án đã xem xét các bài toán Cauchy với điều kiện cô đặc (dạng độ đo phi compact Kuratowski) và bài toán có chậm với điều kiện compact. Hai kỹ thuật mới được giới thiệu: xét ánh xạ trên không gian Fréchet thay vì không gian Banach truyền thống và xây dựng độ đo phi compact nhận giá trị trong nón trong không gian Banach có thứ tự. Cuối cùng, luận án còn chứng minh tính chất cấu trúc của tập nghiệm cho một lớp bài toán Cauchy có dạng u'(t) = f(t, u(t)) + g(t, u(t)), với f là ánh xạ Lipschitz và g là ánh xạ compact.
Tải không giới hạn tất cả tài liệu, không cần chờ. Chỉ từ 199.000đ/tháng.
Xem gói hội viên