Tên luận án:
TÍNH CHÍNH QUY VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES
Ngành:
Toán Giải tích
Tóm tắt nội dung tài liệu:
Luận án tập trung nghiên cứu hai tính chất quan trọng của nghiệm cho hệ phương trình Navier-Stokes: tính chính quy và dáng điệu tiệm cận. Hệ phương trình này là một trong bảy bài toán thiên niên kỷ nổi tiếng, với nhiều vấn đề còn bỏ ngỏ liên quan đến sự tồn tại, tính duy nhất, độ trơn và dáng điệu tiệm cận của nghiệm. Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận giúp dự đoán xu thế phát triển của hệ theo thời gian.
Mục tiêu chính của luận án bao gồm:
- Nghiên cứu bài toán biên ban đầu cho hệ phương trình Navier-Stokes trong miền tổng quát, tập trung vào tính chính quy và dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu.
- Nghiên cứu bài toán Cauchy cho hệ phương trình Navier-Stokes trong không gian ba chiều, tập trung vào dáng điệu tiệm cận của nghiệm mạnh.
Các phương pháp nghiên cứu chính dựa trên lý thuyết về sự tồn tại của nghiệm mạnh địa phương và toàn cục, tính duy nhất của nghiệm mạnh, các ước lượng nửa nhóm và công cụ giải tích điều hòa.
Luận án đã đạt được ba kết quả chính:
- Về tính chính quy của nghiệm yếu cho hệ phương trình Navier-Stokes trong miền tổng quát: Luận án chứng minh rằng nghiệm yếu u là chính quy tại thời điểm t ∈ (0,T) nếu nó thỏa mãn bất đẳng thức năng lượng mạnh và động năng liên tục Hölder trái với số mũ Hölder và nửa chuẩn Hölder đủ nhỏ. Ngoài ra, nếu u(t) ∈ D(A^(1/2)) và một điều kiện giới hạn động năng liên tục được thỏa mãn, nghiệm yếu u cũng là chính quy.
- Về dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu cho hệ phương trình Navier-Stokes trong miền tổng quát: Kết quả chỉ ra rằng nghiệm yếu u có cùng tốc độ hội tụ theo thời gian với nghiệm của hệ Stokes thuần nhất (với cùng giá trị ban đầu và số mũ hội tụ nhỏ hơn 3/4). Khi có thêm điều kiện về giá trị ban đầu, nghiệm yếu u dần đến nghiệm của hệ Stokes thuần nhất khi thời gian t dần tới vô cùng.
- Về dáng điệu tiệm cận của nghiệm mạnh cho hệ phương trình Navier-Stokes trong không gian ba chiều: Luận án chứng minh rằng nghiệm mạnh u có cùng tốc độ hội tụ theo thời gian với nghiệm của phương trình truyền nhiệt (với giá trị ban đầu |u0|).
Các kết quả này đã được công bố trên ba bài báo khoa học. Luận án cũng đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo như làm nhẹ điều kiện giả thiết hoặc áp dụng cách tiếp cận của giải tích điều hòa.