Luận án Nghiệm đại số của một số lớp phương trình vi phân đại số cấp một

Tên luận án:

NGHIỆM ĐẠI SỐ CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CẤP MỘT

Ngành:

Đại số và lí thuyết số

Tóm tắt nội dung tài liệu:

Luận án này tập trung nghiên cứu về sự tồn tại và phương pháp tính toán nghiệm tổng quát đại số của các phương trình vi phân đại số cấp một có dạng F(y, y') = 0. Cụ thể, luận án đi sâu vào các lớp phương trình vi phân đại số cấp một tương đương với phương trình autonom và các phương trình vi phân đại số cấp một tham số hữu tỷ được.

Bắt đầu từ các nghiên cứu cơ bản về phương trình vi phân đại số cấp một từ cuối thế kỷ 19, luận án đề cập đến những vấn đề còn bỏ ngỏ như việc xác định liệu một phương trình có nghiệm tổng quát đại số hay không và xây dựng thuật toán tường minh để tính toán nghiệm đó. Đặc biệt, luận án khám phá việc sử dụng các phép biến đổi Möbius để chuyển đổi các phương trình vi phân đại số cấp một không autonom thành dạng autonom, từ đó mở rộng khả năng tìm nghiệm tổng quát đại số. Vấn đề chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số cũng được mở rộng từ các phương trình autonom sang các phương trình không autonom.

Các kết quả chính của luận án bao gồm việc đưa ra các tính chất của bậc tổng thể vi phân của các đa thức vi phân cấp một, thiết lập các tính chất bảo toàn nghiệm của phương trình vi phân đại số dưới tác động của nhóm các phép biến đổi Möbius. Luận án cũng chỉ ra một tập các bất biến cho phương trình vi phân đa thức và chứng minh rằng phương trình vi phân liên kết của một phương trình vi phân đại số cấp một tham số hữu tỷ được là một bất biến. Cuối cùng, luận án xác định một dạng chuẩn tắc cho phương trình vi phân liên kết của các phương trình vi phân đại số cấp một tham số hữu tỷ được thuộc một lớp tương đương autonom.

Mục lục chi tiết:

• Mở đầu
• 1 Kiến thức chuẩn bị
  • 1.1 Kiến thức cơ sở về đại số
  • 1.2 Đại số vi phân
  • 1.3 Đường cong đại số hữu tỷ
• 2 Phép biến đổi tương đương trên các phương trình vi phân đại số cấp một
  • 2.1 Phép biến đổi tương đương
  • 2.2 Phép biến đổi Möbius
• 3 Nghiệm đại số của phương trình vi phân đại số cấp một
  • 3.1 Nghiệm đại số
  • 3.2 Một số tính chất bảo toàn của nghiệm
  • 3.3 Một chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số
• 4 Sự tương đương của các phương trình vi phân đại số cấp một tham số hữu tỷ được
  • 4.1 Phương trình vi phân đa thức
    • 4.1.1 Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = z + b
    • 4.1.2 Bất biến vi phân qua phép biến đổi z = aw
    • 4.1.3 Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = aw + b
  • 4.2 Phương trình vi phân Riccati
  • 4.3 Phương trình vi phân Abel
  • 4.4 Phương trình vi phân đại số cấp một tham số hữu tỷ được
  • 4.5 Nghiệm tổng quát đại số của phương trình tham số hữu tỷ được thuộc lớp autonom
• Kết luận
• Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến Luận án
• Tài liệu tham khảo