Nghiên cứu bậc tôpô của ánh xạ đa trị trong không gian Banach có thứ tự và ứng dụng vào các bài toán cụ thể.
Toán học
Luận án này tập trung nghiên cứu sâu về lý thuyết bậc tôpô theo nón và các vấn đề liên quan, đặc biệt là đối với các ánh xạ đa trị compact nửa liên tục trên, tác động trong không gian Banach có thứ tự. Công trình này được thực hiện nhằm khắc phục những hạn chế của các định lý điểm bất động kinh điển như Banach-Caccioppoli và Schauder trong việc xác định sự tồn tại nghiệm không tầm thường, đánh giá số nghiệm, và phân tích cấu trúc của tập nghiệm.
Các đóng góp chính của luận án bao gồm việc phát triển các kết quả dễ áp dụng về tính bậc tôpô cho nhiều lớp ánh xạ và trên các miền đặc biệt. Một điểm đáng chú ý là luận án khẳng định rằng đạo hàm theo nón của một ánh xạ đa trị compact cũng là ánh xạ compact, cho phép tính bậc tôpô của ánh xạ ban đầu thông qua đạo hàm của nó. Luận án cũng thiết lập các định lý về sự tồn tại một hoặc nhiều điểm bất động, sự tồn tại vectơ riêng, và cung cấp thông tin về dáng điệu tiệm cận của chúng khi tham số tiến ra vô cùng. Đặc biệt, nghiên cứu này mở rộng các kết quả về tính bậc tôpô của R. Bader cho lớp ánh xạ đa trị có giá trị không lồi, dạng P∘T, một lĩnh vực còn ít được quan tâm nhưng hứa hẹn nhiều ứng dụng.
Các kết quả trừu tượng này được ứng dụng vào ba nhóm bài toán cụ thể. Thứ nhất, là các bao hàm thức vi phân cấp hai với điều kiện biên nhiều điểm và chứa số hạng phi địa phương. Thứ hai, là các bài toán biên nhiều điểm liên hợp phi tuyến với điều khiển phản hồi. Cuối cùng, là các phương trình logistic suy rộng có điều khiển phản hồi. Trong mỗi trường hợp, luận án đã chứng minh sự tồn tại một hoặc nhiều nghiệm không tầm thường hoặc không âm, bao gồm cả sự tồn tại vectơ riêng. Luận án cũng đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo, bao gồm việc tiếp tục ứng dụng bậc tôpô của R. Bader và nghiên cứu bậc tôpô cho lớp ánh xạ đa trị có giá trị phân tích được.