Luận án Một số vấn đề của lý thuyết Nevanlinna và ứng dụng cho đa thức vi phân

Tên luận án:

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CỦA LÝ THUYẾT NEVANLINNA VÀ ỨNG DỤNG CHO ĐA THỨC VI PHÂN

Ngành:

Toán giải tích

Tóm tắt nội dung tài liệu:

Luận án này tập trung nghiên cứu sâu về lý thuyết Nevanlinna, một nhánh quan trọng của giải tích phức, chuyên về sự phân bố giá trị của các hàm phân hình trên trường số phức ℂ. Lý thuyết Nevanlinna được đánh giá là một trong những thành tựu đẹp đẽ và sâu sắc nhất, với nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực như phương trình vi phân, hình học phức và lý thuyết số. Luận án đặc biệt quan tâm đến việc mở rộng các giả thuyết và kết quả đã biết trong lý thuyết này, cụ thể là các vấn đề liên quan đến đa thức vi phân của hàm phân hình và tính duy nhất của chúng.

Nghiên cứu chính của luận án bao gồm năm điểm trọng yếu. Thứ nhất, luận án thiết lập mối liên hệ giữa hàm đếm các cực điểm của một hàm phân hình và hàm đếm các không điểm của đa thức vi phân của hàm đó, qua đó mở rộng giả thuyết Gol'dberg cho trường hợp đa thức vi phân và đưa ra kết quả của Yamanoi như một hệ quả trực tiếp. Thứ hai, luận án xác định quan hệ số khuyết của một đa thức vi phân của hàm phân hình và các số phức hữu hạn với chặn trên bằng 1, cung cấp một tổng quát hóa của giả thuyết Mues.

Thứ ba, luận án xem xét sự phân bố giá trị của một số dạng đa thức vi phân, đưa ra các điều kiện về bậc, số không điểm phân biệt, số bội của nghiệm và cấp của đạo hàm để khẳng định rằng các đa thức vi phân dạng [Q(f)]^(k), Φ = Q₀(f)Q₁(f') ... Qk(f^(k)) nhận mỗi giá trị hữu hạn khác không vô số lần, và đa thức vi phân dạng P(f) + Q(f^(k)) có vô số không điểm. Các kết quả này là sự mở rộng của các giả thuyết Hayman đã được chứng minh hoàn toàn cho hàm phân hình.

Thứ tư, luận án trình bày các đặc trưng của các hàm phân hình chung một hàm nhỏ, xét cả trường hợp tính cả bội và không tính bội, mở rộng các đặc trưng của hàm phân hình chung một giá trị đã biết. Cuối cùng, luận án đưa ra các điều kiện về bậc của đa thức và số nghiệm bội của đạo hàm của đa thức đó để kết luận về tính duy nhất của các hàm phân hình khi các đa thức vi phân của chúng chung nhau một hàm nhỏ.

Mục lục chi tiết:

• Mở đầu

• Chương 1. Không điểm của các đa thức vi phân của hàm phân hình

  • 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị
  • 1.2 Ước lượng không điểm của đa thức vi phân của hàm phân hình
  • 1.3 Kết luận

• Chương 2. Phân bố giá trị của đa thức vi phân của hàm phân hình

  • 2.1 Quan hệ số khuyết của đa thức vi phân của hàm phân hình
  • 2.2 Mở rộng của giả thuyết Hayman cho một số dạng đa thức vi phân
  • 2.3 Kết luận

• Chương 3. Tính duy nhất của các hàm phân hình trong trường hợp các đa thức vi phân chung một hàm nhỏ

  • 3.1 Các hàm phân hình chung một hàm nhỏ
  • 3.2 Các đa thức vi phân của các hàm phân hình chung một hàm nhỏ
  • 3.3 Kết luận

• Kết luận của luận án