VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ HYPERBOLIC PHI TUYẾN SUY BIẾN
Phương trình vi phân và tích phân (Mã số: 62.46.01.03)
Luận án này tập trung nghiên cứu lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, đặc biệt là các phương trình elliptic và hyperbolic phi tuyến suy biến. Lĩnh vực này có lịch sử phát triển lâu dài từ thế kỷ XVIII, với sự đóng góp của nhiều nhà toán học nổi tiếng như J. D'Alembert, L. Euler, J. Lagrange, P. Laplace, S. Poisson, J. Fourier và H. Poincaré, và ngày càng trở nên thiết yếu trong nhiều ngành toán học cũng như mô hình vật lý. Mặc dù đã có nhiều nghiên cứu về phương trình elliptic tổng quát, các kết quả về phương trình elliptic và hyperbolic suy biến vẫn còn hạn chế và chưa đầy đủ.
Mục tiêu chính của luận án là giải quyết ba vấn đề cụ thể. Thứ nhất, nghiên cứu bài toán biên elliptic suy biến chứa toán tử ∆γ, tập trung vào sự tồn tại nghiệm yếu và tính chính quy của nghiệm. Thứ hai, khảo sát phương trình hyperbolic tắt dần chứa toán tử elliptic suy biến mạnh trong miền bị chặn, nhằm xác định sự tồn tại và duy nhất của nghiệm tích phân, sự tồn tại tập hút toàn cục, và đánh giá số chiều fractal của tập hút. Thứ ba, mở rộng nghiên cứu sang phương trình hyperbolic tắt dần chứa toán tử Grushin trong toàn không gian, cũng với mục tiêu chứng minh sự tồn tại và duy nhất của nghiệm tích phân và tập hút toàn cục. Đối tượng nghiên cứu chính là các bài toán biên và bài toán biên giá trị ban đầu có chứa toán tử elliptic suy biến.
Để đạt được các mục tiêu này, luận án sử dụng kết hợp nhiều phương pháp nghiên cứu tiên tiến. Phương pháp biến phân được áp dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu. Tính trơn của nghiệm được nghiên cứu thông qua định lí nhúng kiểu Sobolev và các bất đẳng thức liên quan. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm được thiết lập bằng các công cụ giải tích hàm phi tuyến, đặc biệt là phương pháp nửa nhóm. Cuối cùng, dáng điệu tiệm cận và số chiều fractal của tập hút toàn cục được đánh giá bằng lý thuyết hệ động lực vô hạn chiều, bao gồm phương pháp đánh giá tiên nghiệm tiệm cận và ước lượng phần đuôi nghiệm, cũng như lý thuyết l-quỹ đạo.
Các kết quả chính của luận án bao gồm việc chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu và tính chính quy cho bài toán biên elliptic suy biến. Đối với phương trình hyperbolic tắt dần trong miền bị chặn, luận án đã chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm tích phân, sự tồn tại tập hút toàn cục liên thông compact, và số chiều fractal hữu hạn của tập hút. Tương tự, đối với phương trình hyperbolic tắt dần chứa toán tử Grushin trong toàn không gian, các nhà nghiên cứu đã chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm tích phân, cùng với sự tồn tại tập hút toàn cục. Những đóng góp này có ý nghĩa khoa học quan trọng, góp phần hoàn thiện lý thuyết về sự tồn tại nghiệm, tính trơn và dáng điệu tiệm cận của các phương trình vi phân đạo hàm riêng suy biến.