MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG
Toán ứng dụng
Luận án này tập trung vào việc nghiên cứu và phát triển các phương pháp giải cho bài toán cân bằng giả đơn điệu (EP(C, f)) và các bài toán cân bằng hai cấp liên quan. Sự cân bằng được hiểu là trạng thái đồng đều giữa các lực lượng hoặc đối tượng có ảnh hưởng tương tác. Các hướng nghiên cứu chính đối với bài toán cân bằng bao gồm các vấn đề định tính (sự tồn tại, cấu trúc, tính ổn định của tập nghiệm) và định lượng (xây dựng thuật toán, tốc độ hội tụ, ứng dụng thực tế).
Nghiên cứu nhấn mạnh tầm quan trọng của các phương pháp giải, đặc biệt là phương pháp chiếu do tính đơn giản và tiện lợi trong tính toán. Luận án mở rộng thuật toán chiếu của M. V. Solodov và B. F. Svaiter (1999) – vốn hiệu quả cho bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu – để giải quyết bài toán cân bằng EP(C, f), không yêu cầu tính chất Lipschitz.
Đối với các bài toán đặt không chỉnh (ill-posed problem), luận án áp dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, dẫn đến bài toán tối ưu MNEP(C, f) (tìm cực tiểu hàm chuẩn Euclide trên tập nghiệm của EP(C, f)). Để giải quyết bài toán này, thuật toán chiếu được kết hợp với kỹ thuật siêu phẳng cắt. Ngoài ra, luận án còn nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp (BVIP(C, F, G)) và mở rộng kỹ thuật lai ghép giữa phương pháp đạo hàm tăng cường với kỹ thuật siêu phẳng cắt để xây dựng thuật toán cho bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng (VIEP(C, f, G)).
Mục tiêu chính của luận án là xây dựng các thuật toán cho bài toán cân bằng giả đơn điệu, bài toán tìm cực tiểu hàm chuẩn trên tập nghiệm của nó, bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh trên tập nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn điệu, và các phương pháp giải bài toán cân bằng hai cấp. Các phương pháp nghiên cứu bao gồm mở rộng phương pháp chiếu, quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo, kỹ thuật siêu phẳng cắt, kỹ thuật lai ghép đạo hàm tăng cường, phương pháp hàm phạt, hàm đánh giá và nguyên lý bài toán phụ.
Các kết quả chính bao gồm việc xây dựng và chứng minh sự hội tụ của thuật toán chiếu cho bài toán cân bằng giả đơn điệu (áp dụng vào mô hình cân bằng Nash-Cournot) và cho bài toán tìm cực tiểu của hàm chuẩn Euclide trên tập nghiệm. Luận án cũng phát triển thuật toán lai ghép cho bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh trên tập nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn điệu, áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp. Đặc biệt, luận án đề xuất phương pháp hàm phạt và hàm đánh giá cho bài toán cân bằng hai cấp, mở rộng khái niệm giả V-đơn điệu và chứng minh tính chất dừng của hàm đánh giá, áp dụng vào bài toán nảy sinh từ hiệu chỉnh Tikhonov.