Luận án Về một số bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic.

Tên luận án:

VỀ MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC

Ngành:

Toán học

Tóm tắt nội dung tài liệu:

Luận án nghiên cứu về các bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic, một lĩnh vực được quan tâm từ những năm 1960 với nhiều ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực như xác định nguồn nhiệt hay ô nhiễm. Các bài toán này thường là đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard, đòi hỏi các phương pháp chỉnh hóa để xử lý sai số dữ liệu và tính toán gần đúng. Nghiên cứu tập trung vào ba chủ đề chính: tính duy nhất nghiệm, tính ổn định nghiệm, và các phương pháp chỉnh hóa cùng giải số.

Luận án tập trung giải quyết các vấn đề còn mở trong việc đánh giá ổn định và chỉnh hóa cho trường hợp phương trình parabolic có hệ số phụ thuộc thời gian, cũng như các phương trình bậc phân theo cả biến không gian và thời gian, và trong không gian Banach, nơi các kết quả còn hạn chế.

Cụ thể, luận án nghiên cứu ba trường hợp: phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian trong không gian Hilbert L2(R^n); phương trình parabolic bậc phân theo biến không gian và thời gian trong không gian Hilbert L2(R^n); và phương trình parabolic trong không gian Banach. Các phương pháp nghiên cứu chủ yếu dựa trên suy luận logic từ các kết quả đã có trong Toán Giải tích và Toán Ứng dụng, kết hợp với các phương pháp số.

Các kết quả chính của luận án bao gồm: Đối với phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian, luận án đưa ra đánh giá ổn định và sử dụng phương pháp làm nhuyễn để chỉnh hóa, đạt được đánh giá sai số kiểu Hölder với bậc bằng hoặc tốt hơn các nghiên cứu trước đây, đồng thời đề xuất thuật toán và ví dụ số. Đối với phương trình parabolic bậc phân theo biến thời gian và không gian, luận án chứng minh đánh giá ổn định với bậc tối ưu, mở rộng phương pháp làm nhuyễn để chỉnh hóa, đạt được đánh giá sai số kiểu Hölder và đề xuất thuật toán cùng ví dụ số. Đối với phương trình parabolic trong không gian Banach, luận án đề xuất phương pháp chỉnh hóa dựa trên lý thuyết nửa nhóm (do phương pháp làm nhuyễn không áp dụng được), đạt được đánh giá sai số kiểu Hölder và trình bày các ví dụ số.

Luận án góp phần làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực bài toán ngược và bài toán xác định nguồn, đồng thời có thể là tài liệu tham khảo hữu ích cho học viên và nghiên cứu sinh ngành Toán.

Mục lục chi tiết:

• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
• Chương 2: Bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian
• Chương 3: Bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân theo biến thời gian và không gian
• Chương 4: Bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic trong không gian Banach