MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐẶT KHÔNG CHỈNH
Toán học tính toán
Luận án này tập trung nghiên cứu các phương pháp hiệu chỉnh để giải hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh, một lớp bài toán có nhiều ứng dụng trong xử lý ảnh, y học, quân sự, công nghiệp và thiên văn. Các bài toán này đặc trưng bởi việc tìm giao điểm của các tập đóng hoặc nghiệm chung của các phương trình toán tử, thường là không chỉnh khi các toán tử được cho dưới dạng ẩn.
Nghiên cứu mở rộng các công trình trước đây của GS. Ng. Bường, GS. O.Scherzer và Torsten Hein về phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình toán tử. Luận án giải quyết hai vấn đề chính:
Thứ nhất, luận án đề xuất phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho hệ phương trình phi tuyến với các toán tử liên tục và đóng yếu. Các kết quả chứng minh rằng phương pháp này chuyển đổi hệ phương trình không chỉnh thành bài toán đặt chỉnh, đảm bảo sự ổn định và hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm của hệ gốc. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh được đánh giá bằng cách bổ sung các điều kiện nhất định (khả vi Fréchet, điều kiện Lipschitz trên đạo hàm Fréchet, điều kiện nguồn và hằng số Lipschitz) lên một toán tử bất kỳ trong hệ. Trong trường hợp đặc biệt của toán tử tuyến tính liên tục, phương pháp cũng được chứng minh là hiệu quả, với sự ổn định, hội tụ và tốc độ hội tụ được xác định dựa trên điều kiện nguồn của một toán tử.
Thứ hai, luận án trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với các toán tử U-đơn điệu và liên tục Lipschitz trên không gian Banach phản xạ và lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều. Phương pháp này chỉ ra tính duy nhất của nghiệm hiệu chỉnh. Tốc độ hội tụ được xác định khi tham số hiệu chỉnh được lựa chọn theo nguyên lý tựa độ lệch, cùng với các điều kiện bổ sung tương tự như trường hợp trên (điều kiện nguồn và tính khả vi Fréchet) áp dụng cho một toán tử bất kỳ. Các ví dụ tính toán số được cung cấp để minh họa cho các lý thuyết được đề xuất.
Luận án đã đóng góp vào việc phát triển các phương pháp hiệu chỉnh cho lớp bài toán khó này, đặc biệt trong các trường hợp toán tử phi tuyến và U-đơn điệu, với các đánh giá chi tiết về sự hội tụ và tốc độ hội tụ.