PHƯƠNG PHÁP HỆ VÔ HẠN GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN TUYẾN TÍNH TRONG MIỀN KHÔNG GIỚI NỘI
Toán ứng dụng, Mã số: 62 46 01 12
Luận án này đề xuất và nghiên cứu phương pháp hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính để giải gần đúng các bài toán biên tuyến tính cho phương trình vi phân cấp hai và cấp bốn trong miền không giới nội. Các bài toán vật lý, cơ học, môi trường thường được đặt ra trong các miền vô hạn, gây khó khăn trong việc tìm nghiệm chính xác. Các phương pháp truyền thống thường hạn chế bài toán về miền giới nội và sử dụng điều kiện biên nhân tạo (ABC) hoặc điều kiện biên trong suốt (TBC). Tuy nhiên, các kỹ thuật ABC này thường yêu cầu giả thiết hàm vế phải và điều kiện biên ban đầu có giá compact.
Phương pháp tiếp cận mới của luận án là xây dựng lược đồ sai phân cho bài toán trên toàn miền không giới nội, dẫn đến một hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính. Hệ này sau đó được chặt cụt để thu được nghiệm gần đúng với sai số cho trước. Điểm ưu việt của phương pháp này là không yêu cầu điều kiện compact cho các hàm vế phải và điều kiện ban đầu, một hạn chế của nhiều phương pháp ABC hiện có. Phương pháp cũng linh hoạt, có thể kết hợp với các kỹ thuật khác như chia miền, và dễ dàng lập trình.
Luận án gồm ba chương chính. Chương 1 trình bày các kiến thức nền tảng về phương pháp truy đuổi giải hệ ba điểm, hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính, lưới tựa đều và các định lý liên quan đến sự tồn tại, duy nhất nghiệm và chặt cụt. Chương 2 tập trung vào việc áp dụng phương pháp hệ vô hạn để giải một số bài toán biên tuyến tính một chiều trên nửa trục, bao gồm bài toán truyền nhiệt dừng và không dừng, cũng như bài toán mô phỏng hiện tượng sóng. Chương này cũng so sánh hiệu quả của phương pháp trên lưới đều, không đều và lưới tựa đều, cho thấy ưu thế của phương pháp hệ vô hạn trên lưới không đều. Chương 3 mở rộng ứng dụng cho các bài toán hai chiều trong nửa dải, như bài toán elliptic, bài toán elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh và bài toán song điều hòa. Trong các trường hợp này, ý tưởng của Polozhii về biểu diễn tổng được sử dụng để chuyển hệ phương trình véc tơ ba điểm về hệ vô hướng ba điểm, tạo điều kiện áp dụng phương pháp hệ vô hạn. Các kết quả lý thuyết được kiểm chứng bằng thực nghiệm tính toán, cho thấy hiệu quả và độ chính xác của phương pháp được đề xuất, đặc biệt là khi sử dụng lưới không đều giúp giảm đáng kể kích thước hệ phương trình chặt cụt và thời gian tính toán.