Luận án Một số bài toán ngược cho phương trình elliptic với quan sát biên

Tên luận án:

MỘT SỐ BÀI TOÁN NGƯỢC CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI QUAN SÁT BIÊN (SOME INVERSE PROBLEMS FOR ELLIPTIC EQUATIONS WITH BOUNDARY OBSERVATIONS)

Ngành:

Applied Mathematics

Tóm tắt nội dung tài liệu:

Luận án này tập trung nghiên cứu bài toán Cauchy và bài toán xác định nguồn cho các phương trình elliptic tuyến tính bậc hai với quan sát biên. Các bài toán này là những bài toán không đặt chỉnh (ill-posed).

Chương 1 của luận án đi sâu vào bài toán Cauchy cho phương trình elliptic. Một khái niệm mới về nghiệm rất yếu cho bài toán Cauchy được giới thiệu. Bài toán Cauchy được chuẩn hóa thông qua một bài toán biên không địa phương, với nghiệm được hiểu theo nghĩa rất yếu. Bài toán cuối cùng được rời rạc hóa bằng phương pháp sai phân hữu hạn, và tính ổn định cùng sự hội tụ của phương pháp đã được chứng minh. Các ví dụ số được trình bày để minh họa hiệu quả của phương pháp.

Chương 2 dành cho bài toán xác định nguồn. Bài toán ngược này được tái cấu trúc dưới dạng một phương trình toán tử, sau đó được chuẩn hóa bằng phương pháp chuẩn hóa Tikhonov. Bài toán chuẩn hóa được rời rạc hóa theo khái niệm rời rạc hóa biến phân của Hinze. Một quy tắc để chọn tham số chuẩn hóa, phụ thuộc vào mức độ nhiễu và kích thước lưới, được đề xuất nhằm đảm bảo tốc độ hội tụ tối ưu. Kết quả trừu tượng này được áp dụng vào phương pháp phần tử hữu hạn, và hiệu quả của phương pháp được minh họa qua nhiều ví dụ số.

Chương 3 đề cập đến bài toán ngược xác định một số hạng trong vế phải của một số phương trình elliptic đặc biệt trong hình trụ từ các quan sát biên. Dựa trên dạng đặc biệt của phương trình được xem xét trong hình trụ, nghiệm của bài toán thuận và bài toán ngược có thể được biểu diễn bằng chuỗi Fourier. Phương pháp Fourier cắt cụt tiêu chuẩn được sử dụng để chuẩn hóa bài toán ngược. Các ước lượng sai số của phương pháp đã được chứng minh và một số ví dụ số được trình bày để thể hiện hiệu quả của nó.

Mục lục chi tiết:

• Chapter 1: The Cauchy problem for elliptic equations

  • Giới thiệu khái niệm mới về nghiệm rất yếu cho bài toán Cauchy.
  • Chuẩn hóa bài toán Cauchy bằng bài toán biên không địa phương, với nghiệm được hiểu theo nghĩa rất yếu.
  • Rời rạc hóa bằng phương pháp sai phân hữu hạn và chứng minh tính ổn định, hội tụ.
  • Trình bày các ví dụ số minh họa hiệu quả của phương pháp.

• Chapter 2: The source term determination of elliptic equations

  • Tái cấu trúc bài toán xác định nguồn dưới dạng phương trình toán tử.
  • Chuẩn hóa bằng phương pháp chuẩn hóa Tikhonov và khái niệm rời rạc hóa biến phân của Hinze.
  • Đề xuất quy tắc chọn tham số chuẩn hóa dựa trên mức nhiễu và kích thước lưới để đạt tốc độ hội tụ tối ưu.
  • Áp dụng kết quả trừu tượng vào phương pháp phần tử hữu hạn và minh họa hiệu quả bằng các ví dụ số.

• Chapter 3: Determining a source term in an elliptic equation in a cylinder from boundary observations

  • Xác định số hạng vế phải của phương trình elliptic đặc biệt trong hình trụ từ quan sát biên.
  • Biểu diễn nghiệm bằng chuỗi Fourier và sử dụng phương pháp Fourier cắt cụt để chuẩn hóa.
  • Đề xuất quy tắc chọn số lượng tham số Fourier của phương pháp chuẩn hóa và chứng minh ước lượng sai số.
  • Trình bày các ví dụ số để minh họa hiệu quả của phương pháp.