Luận án Một số phương pháp giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động

Tên luận án:

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG

Ngành:

Toán ứng dụng

Tóm tắt nội dung tài liệu:

Luận án Tiến sĩ Toán học "Một số phương pháp giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động" của Nguyễn Văn Hồng, chuyên ngành Toán ứng dụng, được thực hiện tại Trường Đại học Thăng Long. Luận án tập trung giải quyết bài toán cân bằng, một lĩnh vực quan trọng trong Lý thuyết tối ưu và Toán học ứng dụng, đặc biệt là bài toán cân bằng trên tập điểm bất động và bài toán cân bằng hai cấp.

Tài liệu này trình bày các khái niệm cơ bản về giải tích hàm, giải tích lồi, bài toán cân bằng và điểm bất động. Trong chương 2, luận án đề xuất hai thuật toán chiếu mới để giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động trong không gian Hilbert thực, với giả thiết song hàm ƒ đơn điệu mạnh và tập dưới vi phân xấp xỉ liên tục Lipschitz. Các thuật toán này kết hợp kỹ thuật dưới đạo hàm xấp xỉ, lược đồ hướng giảm lai ghép, và lặp điểm bất động Mann. Ngoài ra, một phương pháp chiếu mới cũng được đề xuất để giải bài toán cân bằng hai cấp trên giao của tập điểm bất động và nghiệm của bài toán cân bằng.

Chương 3 giới thiệu hai thuật toán lặp mới sử dụng phương pháp dưới đạo hàm quán tính để giải bài toán cân bằng trên tập ràng buộc là giao của các tập điểm bất động của ánh xạ nửa co trong không gian Hilbert. Các thuật toán này dựa trên kỹ thuật hướng giảm lai ghép, ngoại suy quán tính, chiếu song song và nguyên lý bài toán phụ.

Các kết quả chính của luận án bao gồm việc chứng minh sự hội tụ mạnh của các dãy lặp sinh bởi các thuật toán đề xuất thông qua các Định lý 2.1, 2.2, 2.3, 3.1 và 3.2. Luận án cũng thực hiện các tính toán số minh họa trong cả không gian vô hạn và hữu hạn chiều, đồng thời so sánh hiệu quả của các thuật toán mới với các phương pháp đã có. Các kết quả nghiên cứu này đã được công bố trên 04 bài báo khoa học, trong đó có 03 bài trên tạp chí SCIE. Luận án cũng đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo, bao gồm việc đánh giá sai số, tốc độ hội tụ và ứng dụng các thuật toán vào mô hình thực tiễn.

Mục lục chi tiết:

• Trang phụ bìa
• Mở đầu
• 1 Một số kiến thức cơ bản về bài toán cân bằng và điểm bất động
  • 1.1 Không gian Hilbert
  • 1.2 Bài toán cân bằng
    • 1.2.1 Bài toán cân bằng và một số bài toán liên quan
    • 1.2.2 Điều kiện tồn tại nghiệm
  • 1.3 Bài toán cân bằng trên tập điểm bất động
    • 1.3.1 Phát biểu bài toán
    • 1.3.2 Một số thuật toán thông dụng
• 2 Các phương pháp chiếu mở rộng
  • 2.1 Phương pháp chiếu song song xấp xỉ
  • 2.2 Phương pháp dưới đạo hàm song song
  • 2.3 Một số ví dụ minh họa và kết quả tính toán
  • 2.4 Phương pháp chiếu dưới đạo hàm tăng cường song song
    • 2.4.1 Thuật toán và định lý hội tụ
    • 2.4.2 Tính toán thực nghiệm
• 3 Phương pháp dưới đạo hàm quán tính
  • 3.1 Phương pháp dưới đạo hàm quán tính
    • 3.1.1 Thuật toán và định lý hội tụ
    • 3.1.2 Một số tính toán thực nghiệm
  • 3.2 Nguyên lý bài toán phụ quán tính song song
    • 3.2.1 Thuật toán và định lý hội tụ
    • 3.2.2 Một số tính toán
• Kết luận
• Hướng nghiên cứu tiếp theo
• Danh mục công trình khoa học đã công bố